空间向量与立体几何
学会用空间直角坐标系和向量运算解决立体几何中的平行垂直证明、空间角度和距离计算，将几何问题代数化。
空间向量与立体几何
一、概念导入
在平面向量中，我们用有向线段表示方向和大小。生活中很多问题涉及三个维度，如立交桥的上下层、建筑物的高度。为了度量空间中的位置和关系，我们引入空间向量，并借助空间直角坐标系进行代数化处理。
二、空间直角坐标系与坐标表示
过空间一点 O 作三条两两垂直的数轴：x 轴、y 轴、z 轴，通常按右手系排列。空间任意一点 P 对应唯一的有序实数组 (x,y,z)，称为 P 的坐标。从原点 O 指向 P 的向量 $\vec{OP}$ 称为点 P 的位置向量，其坐标表示为 $(x,y,z)$。
一般地，向量 $\vec{a}$ 用坐标表示为 $(a_x,a_y,a_z)$。向量的加减、数乘运算与平面类似，对应坐标相加减。
三、空间向量的数量积与法向量的求法
数量积（点乘）：$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$。它可用于求夹角和判断垂直。
法向量：垂直于平面的非零向量。若平面内两不共线向量 $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3),\ \vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$，则法向量 $\vec{n}=(x,y,z)$ 满足 $\vec{n}\cdot\vec{u}=0$ 且 $\vec{n}\cdot\vec{v}=0$，即解方程组：$u_1 x+u_2 y+u_3 z=0,\ v_1 x+v_2 y+v_3 z=0$。令一个变量为1，可解出一组法向量。
四、立体几何中的向量方法
1. 平行与垂直的证明
- 线线平行：方向向量平行（成比例）。
- 线面平行：方向向量与法向量垂直且直线不在面内。
- 面面平行：两法向量平行。
- 线线垂直：方向向量点积为0。
- 线面垂直：方向向量与法向量平行。
- 面面垂直：两法向量点积为0。
2. 空间角的计算
- 异面直线所成角：$\cos\theta = \frac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}$。
- 直线与平面所成角：$\sin\theta = \frac{|\vec{a}\cdot\vec{n}|}{|\vec{a}||\vec{n}|}$，其中 $\vec{a}$ 为直线方向向量，$\vec{n}$ 为平面法向量。
- 二面角：$\cos\theta = \frac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}$（锐角）或 $\cos\theta = \frac{\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}$（需判断符号）。
3. 距离的计算
- 点到平面的距离：$d = \frac{|\overrightarrow{AP}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}$，其中 A 为平面内任一点，P 为平面外一点，$\vec{n}$ 为平面法向量。
- 直线到平面的距离（线面平行时）：取直线上一点，转化为点到面距离。
- 异面直线距离：可用公垂向量求解。
五、典型例题
例1：已知 A(1,0,1), B(0,2,3), C(-1,1,0)，求平面 ABC 的一个法向量。
解：$\overrightarrow{AB}=(-1,2,2)$，$\overrightarrow{AC}=(-2,1,-1)$。设 $\vec{n}=(x,y,z)$，则
$\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}= -x+2y+2z=0$，且 $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}= -2x+y-z=0$。
解方程组，得 $x=2y,\ z=-\frac{3}{2}y$。取 $y=2$，得 $x=4,\ y=2,\ z=-3$，即 $\vec{n}=(4,2,-3)$。（乘以非零常数仍为法向量）
例2：正方体 ABCD-A’B’C’D’ 棱长为2，E 为 CC’ 中点。求直线 A’C 与平面 BDE 所成角的正弦值。
解：以 D 为原点，DA、DC、DD’ 为 x、y、z 轴建立坐标系。则 A’(2,0,2)，C(0,2,0)，$\overrightarrow{A'C}=(-2,2,-2)$。B(2,2,0)，D(0,0,0)，E(0,2,1)，$\overrightarrow{DB}=(2,2,0)$，$\overrightarrow{DE}=(0,2,1)$。设平面 BDE 的法向量 $\vec{n}=(x,y,z)$，则
$\vec{n}\cdot\overrightarrow{DB}=2x+2y=0$，$\vec{n}\cdot\overrightarrow{DE}=2y+z=0$。取 $y=1$，得 $x=-1$，$z=-2$，即 $\vec{n}=(-1,1,-2)$。
设直线 A’C 与平面所成角为 $\theta$，则 $\sin\theta = \frac{|\overrightarrow{A'C}\cdot\vec{n}|}{|\overrightarrow{A'C}||\vec{n}|} = \frac{|(-2)(-1)+2\cdot1+(-2)(-2)|}{\sqrt{(-2)^2+2^2+(-2)^2}\sqrt{(-1)^2+1^2+(-2)^2}} = \frac{8}{\sqrt{12}\sqrt{6}} = \frac{8}{\sqrt{72}} = \frac{8}{6\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$。
例3：求例2中点 A(2,0,0) 到平面 BDE 的距离。
解：由例2，平面 BDE 的法向量 $\vec{n}=(-1,1,-2)$，在平面内取点 D(0,0,0)，$\overrightarrow{DA}=(2,0,0)$。
距离 $d = \frac{|\overrightarrow{DA}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|2\cdot(-1)+0+0|}{\sqrt{(-1)^2+1^2+(-2)^2}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$。
六、常见误区
- 坐标符号错误：建立坐标系时务必确认各点坐标的正负。
- 法向量不唯一：只需取一组非零解，注意避免零向量。
- 夹角范围混淆：异面直线角 $(0^\circ,90^\circ]$，线面角 $[0^\circ,90^\circ]$，二面角 $[0^\circ,180^\circ]$。使用余弦公式时需判断锐角或钝角。
- 忘记绝对值：求线面角用 $\sin\theta$，分子取绝对值；求二面角锐角时，余弦取绝对值。
七、学习建议
- 重视坐标系的建立，合理选择原点可简化计算。
- 熟练解方程组求法向量，建议练习待定系数法。
- 结合几何图形理解向量的投影关系，如距离公式。
- 做题时先画草图，标出关键点坐标。
八、知识链接
空间向量是平面向量的推广，它与传统立体几何方法相辅相成。向量法将几何问题转化为代数运算，尤其适合求解角和距离。后续高等数学中将进一步学习向量场的概念。
九、习题自测
- 已知 A(1,-1,2), B(3,1,0), C(4,2,1)，求平面 ABC 的一个法向量。
- 在棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 BB1 中点，求直线 D1E 与平面 A1BC1 所成角的正弦值。
- 求点 B 到平面 A1BC1 的距离。
参考答案：1. $\vec{n}=(2,-2,1)$（不唯一）；2. $\frac{\sqrt{6}}{9}$；3. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$。