相交线与平行线

一、概念导入

同学们，在生活中我们经常能看到两条直线的关系。比如：铁轨的两条铁轨是永远不相交的（平行），而十字路口的两条马路是交叉的（相交）。在教室里，窗户的横框和竖框也是相交的。今天我们就来系统地学习相交线和平行线的相关知识。

二、核心讲解

1. 相交线

两条直线有一个公共点（交点），就称它们相交。如图1，直线AB和CD相交于点O，形成四个角∠1、∠2、∠3、∠4。

像∠1和∠3这样，两个角有公共顶点，并且两边互为反向延长线，就叫对顶角（∠2和∠4也是）。对顶角的性质：对顶角相等，即∠1=∠3，∠2=∠4。

像∠1和∠2这样，有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线，叫邻补角。邻补角的性质：邻补角互补，即∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°等。

2. 垂线

当两条直线相交所成的角中有一个是直角（90°）时，就说这两条直线互相垂直，其中一条叫另一条的垂线，交点叫垂足。记作a⊥b。过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短。从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。

3. 三线八角——同位角、内错角、同旁内角

如图2，两条直线a、b被第三条直线c所截，形成八个角。根据位置关系分为三类。

• 同位角：在截线c的同侧，且在被截直线a、b的同一侧。如∠1和∠5（都在左上方）。
• 内错角：在截线c的两侧，且在被截直线a、b之间。如∠4和∠5（∠4在a右下，∠5在b左上，跨截线内侧）。
• 同旁内角：在截线c的同侧，且在被截直线a、b之间。如∠4和∠6（都在c右侧内侧）。

4. 平行线

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。记作a∥b。

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（平行于同一直线的两直线平行）。

5. 平行线的判定

判定两直线平行的方法（如图3）：

• 同位角相等，两直线平行（若∠1=∠5，则a∥b）。
• 内错角相等，两直线平行（若∠4=∠5，则a∥b）。
• 同旁内角互补，两直线平行（若∠4+∠6=180°，则a∥b）。

6. 平行线的性质

如果两条直线平行，被第三条直线所截：

• 两直线平行，同位角相等。
• 两直线平行，内错角相等。
• 两直线平行，同旁内角互补。

三、典型例题

四、常见误区

• 误区1：认为两条直线不相交就一定平行。错误！在同一平面内不相交才平行，在空间里还有异面直线（以后会学）。
• 误区2：把内错角与同旁内角搞混。可以通过“内错角成Z形，同旁内角成U形”来记忆。
• 误区3：在判定平行时，把“同旁内角互补”误记为“相等”。注意互补即为180°。
• 误区4：使用性质时，前提必须是两直线平行，不能倒过来用（判定与性质不可混淆）。

五、学习建议

• 多画图，多标注，不要死记口诀，要结合图形理解角的位置关系。
• 用不同颜色标记同位角、内错角、同旁内角，形成视觉记忆。
• 把判定和性质对照记忆：判定是由角的关系推出平行；性质是由平行推出角的关系。
• 做题时先标图，把已知角标上度数，再逐步推理。

六、知识链接

• 本知识是后续学习三角形、平行四边形、证明与推理的基础。
• 与角的计算直接关联，需要熟练掌握角的和差。
• 与几何证明的书写规范紧密相关，学会使用“∵”“∴”符号。

七、习题自测

1. 如图1，直线AB、CD相交于点O，∠1=35°，则∠3=______°，∠2=______°。
2. 如图2，直线a、b被c所截，∠3=70°，∠5=70°，则a与b的位置关系是______，理由是______。
3. 如图4，a∥b，∠1=110°，则∠5=______°，∠6=______°（写出所有可能的答案）。

答案：1. 35, 145；2. 平行，内错角相等（∠3=∠5）；3. 110（同位角相等），70（同旁内角互补）或根据具体图可能不同，标准答案：∠5=110°，∠6=70°。