长方体与正方体
从生活实物出发，认识长方体与正方体的面、棱、顶点特征，理解表面积和体积的意义及简单计算，掌握基本公式并能解决实际问题。
认识长方体与正方体
生活中的长方体与正方体
我们身边有很多长方体：文具盒、课本、冰箱、砖块……长方体有6个长方形面（特殊情况下有两个面是正方形），正方体是特殊的长方体，6个面都是完全相同的正方形，比如魔方、骰子。
长方体和正方体的特征
长方体有6个面（相对的面完全相同）、12条棱（相对的棱长度相等）、8个顶点。正方体有6个面（全部相同）、12条棱（长度全部相等）、8个顶点。正方体是特殊的长方体。
| 名称 | 面 | 棱 | 顶点 |
|---|---|---|---|
| 长方体 | 6个长方形（相对面相同） | 12条（相对棱相等） | 8个 |
| 正方体 | 6个正方形（全部相同） | 12条（全部相等） | 8个 |
表面积
长方体（或正方体）6个面的总面积叫做它的表面积。
长方体表面积公式：$S = 2(ab + ah + bh)$（长$a$，宽$b$，高$h$）
正方体表面积公式：$S = 6a^2$（棱长$a$）
例1：一个长方体长5cm、宽3cm、高2cm，求它的表面积。
思路：先计算三组对面面积，再相加乘2。
解：前后面面积 = $5 imes 2 imes 2 = 20 ext{cm}^2$
上下面面积 = $5 imes 3 imes 2 = 30 ext{cm}^2$
左右面面积 = $3 imes 2 imes 2 = 12 ext{cm}^2$
表面积 = $20+30+12=62 ext{cm}^2$。
答：表面积为$62 ext{cm}^2$。
例2：一个正方体魔方棱长6cm，至少需要多少平方厘米的包装纸？
思路：正方体6个面面积相同，先求一个面面积再乘6。
解：一个面面积 = $6 imes 6 = 36 ext{cm}^2$
表面积 = $36 imes 6 = 216 ext{cm}^2$。
答：至少需要$216 ext{cm}^2$包装纸。
体积
物体所占空间的大小叫做体积。我们常用棱长1cm的小正方体来度量，有多少个小正方体体积就是多少立方厘米。
长方体体积公式：$V = a b h$（长$ imes$宽$ imes$高）
正方体体积公式：$V = a^3$（棱长$ imes$棱长$ imes$棱长）
例3：一个长方体长6cm、宽4cm、高3cm，体积是多少？
思路：直接套用公式，注意单位是立方厘米。
解：$V = 6 imes 4 imes 3 = 72 ext{cm}^3$。
答：体积是$72 ext{cm}^3$。
例4：一个正方体木箱棱长5dm，所占空间多大？
思路：正方体体积等于棱长的立方。
解：$V = 5 imes 5 imes 5 = 125 ext{dm}^3$。
答：占空间$125 ext{dm}^3$。
常见误区
- ❌ 混淆面积与体积：表面积是平面大小（单位cm²），体积是空间大小（单位cm³），不要搞混。
- ❌ 忘记乘2：计算长方体表面积时，三组对面各算一次后要乘2。
- ❌ 单位不统一：长宽高单位必须一致（都是cm或dm）才能计算。
- ❌ 无盖问题：如果物体没有盖子（如鱼缸），只算5个面的面积。
学习建议
- 动手做模型：用硬纸板做一个长方体和正方体，标出顶点、棱和面，理解特征。
- 数一数：对着模型数面、棱、顶点，记住数量。
- 画图辅助：遇到表面积体积问题时，先画出示意图，标上数据。
- 联系生活：想想家里的冰箱、衣柜、茶叶盒，试试估算表面积或体积。
知识链接
长方体和正方体是 长方形和正方形 的立体化身，用到了三年级学过的面积计算。继续学习会遇到 圆柱和圆锥，它们的表面积和体积公式也会用到长方体的思想。
习题自测
- 一个长方体长8cm、宽5cm、高3cm，它的表面积是多少？体积是多少？
- 一个正方体棱长7cm，表面积和体积各是多少？
- 李叔叔做了一个无盖长方体玻璃鱼缸，长6dm、宽4dm、高5dm。至少需要多少平方分米的玻璃？
参考答案
- 表面积：$2 imes(8 imes5+8 imes3+5 imes3)=2 imes(40+24+15)=2 imes79=158 ext{cm}^2$；体积：$8 imes5 imes3=120 ext{cm}^3$。
- 表面积：$6 imes7 imes7=294 ext{cm}^2$；体积：$7 imes7 imes7=343 ext{cm}^3$。
- 无盖玻璃鱼缸少一个上面：前后左右$+$底面：$2 imes(6 imes5+4 imes5)+6 imes4=2 imes(30+20)+24=100+24=124 ext{dm}^2$。