数学
7年级
困难
数据的收集与整理（进阶）
从生活场景出发，系统讲解普查与抽样调查的区别、数据整理的全流程，重点掌握频数分布表的制作、组距与组数的确定方法，并能正确绘制频数分布直方图和扇形统计图。通过典型例题和常见误区分析，帮助学生建立数据意识，提升分析能力。
一、概念导入：从“全班身高”说起
假设你想了解七年级（1）班同学的身高情况，以便为学校定制课桌椅提供依据。你会怎么做？
第一步：收集数据——你可以对全班每一位同学进行测量（普查），也可以随机抽取一部分同学（抽样调查）。
第二步：整理数据——将一堆零散的数字按照一定规则（如身高范围）分组，统计每组的人数（频数），制作成表格和图形，让数据一目了然。
第三步：分析数据——根据图表得出结论，例如大部分同学的身高集中在哪个区间，是否需要特殊尺寸的桌椅。
二、核心讲解：收集与整理的关键要点
1. 收集数据的方式
- 普查：适用于总体较小或需要精确结果时。例如“学校七年级学生视力状况”。
- 抽样调查：总体很大或普查有破坏性时使用。关键是样本要随机、有代表性。
2. 整理数据的步骤——以50名学生的身高为例（单位：cm）
原始数据：152 155 158 160 162 164 165 167 168 170 171 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200（共50个）
（实际教学中可给出真实数据，此处为简化示意）
通常我们按以下三步整理：
- 计算极差：最大值 - 最小值。例如这里最大值 200，最小值 152，极差 = 48 cm。
- 确定组距与组数：组距是每组数据范围的长度。 组数 = 极差 ÷ 组距（取整）。一般组数在5～12之间。这里我们取组距 5 cm，则组数 ≈ 48 ÷ 5 = 9.6，取 10 组。
- 划分组限并统计频数：第一组从最小值开始，如 150~154, 155~159, … 注意边界处理（一般“上组限不在内”规则）。
制作频数分布表如下（部分数据）：
3. 频数分布直方图
将频数分布表直观地表示为直方图：横轴表示身高分组（连续，各条形紧挨），纵轴表示频数。注意组距要相等。
4. 扇形统计图（饼图）
用圆心角表示各部分所占百分比。计算每组的频数占比，再乘以360°得到圆心角。对于身高数据，可以画出各身高段占比。
三、典型例题
例1（基础）：某班有40名学生，数学成绩（满分100）如下：
62,75,83,69,91,88,77,94,55,68,85,73,80,60,70,95,78,82,65,72,90,76,81,84,87,93,58,66,71,79,86,89,92,64,67,74,98,96,57,63
请将数据按10分为组距分组，并制作频数分布表。
请将数据按10分为组距分组，并制作频数分布表。
解答：极差=98-55=43，组距10，组数≈43/10≈5（取5组）。组限：50~59,60~69,70~79,80~89,90~99。统计频数：50~59:4,60~69:8,70~79:12,80~89:10,90~99:6。合计40。
例2（提升）：根据例1的频数分布表，绘制频数分布直方图，并指出哪个分数段人数最多。
解答：横轴为分数段，纵轴为频数。条形高度对应频数。可以看出70~79分人数最多（12人）。注意直方图条形之间没有间隔，因为分数是连续变量。
例3（综合）：为了解七年级学生课外阅读时间，学校从三个班共随机抽取100名学生，调查每周课外阅读时间（小时）。整理数据后得到如下表格：
（1）该调查是普查还是抽样调查？样本容量是多少？
（2）估计整个七年级学生每周阅读时间在4小时以上的比例。
| 时间/小时 | 组中值 | 频数 |
|---|---|---|
| 0~2 | 1 | 10 |
| 2~4 | 3 | 25 |
| 4~6 | 5 | 40 |
| 6~8 | 7 | 20 |
| 8~10 | 9 | 5 |
（2）估计整个七年级学生每周阅读时间在4小时以上的比例。
解答：（1）抽样调查，样本容量100。
（2）4小时以上包括4~6,6~8,8~10三组，频数40+20+5=65，占比65/100=65%。所以估计七年级约65%的学生阅读时间超过4小时。
（2）4小时以上包括4~6,6~8,8~10三组，频数40+20+5=65，占比65/100=65%。所以估计七年级约65%的学生阅读时间超过4小时。
四、常见误区
- 误区1：直方图条形之间留空隙——直方图用于连续型数据，条形应紧挨；条形图用于分类，可以有间距。
- 误区2：组距不相等——同一组数据分组时必须保持组距相同，否则频数分布无法客观反映数据分布。
- 误区3：扇形图百分比总和不等于100%——由于四舍五入可能导致总和略偏离100%，应适当调整标注值。
- 误区4：将普查和抽样调查混淆——普查是针对全体，抽样是部分. 例如“检验一批灯泡的使用寿命”必须用抽样，因为检测会损坏灯泡。
五、学习建议
- 亲手操作：收集身边的数据（如班级同学的鞋码、每周看电视时间），自己动手分组、制作表格和图形，加深理解。
- 注重细节：注意组限的划分规则（通常为“上限不在内”，避免数据重复计入）。
- 对比图形：把同一组数据分别用条形图、直方图、扇形图展示，感受不同图形的优缺点：直方图适合看分布形状，扇形图适合看比例。
- 培养数据意识：多思考数据背后的意义，比如“为什么身高有集中趋势”、“异常值可能说明什么”。
六、知识链接
数据的收集与整理是统计学的起点，后续将学习：
- 数据的描述：平均数、中位数、众数、方差等数字特征。
- 数据的推断：用样本估计总体的思想。
- 概率初步：事件发生的可能性大小。
- 在小学已经学过简单的条形图、平均数，这里进一步系统化。
七、习题自测
- 某校七年级学生参加体育测试，50米跑成绩（秒）如下：8.5,9.0,9.2,8.8,9.5,9.1,8.7,9.3,8.9,9.4,8.6,9.0,9.1,8.8,9.2,9.0,8.9,9.3,8.7,9.1。试以0.2秒为组距将数据分组，列出频数分布表，并指出哪个范围的人数最多。
- 根据上题数据，估算频数分布直方图的最大矩形对应哪一个组？
- 为了解某小区居民每月用水量，抽查了30户，结果如下（吨）：5,7,8,6,7,9,10,8,7,6,8,9,7,6,8,10,11,9,7,8,9,10,8,7,6,9,8,7,10,9。请分别用直方图和扇形图表示数据（组距自定，但要合理）。
参考答案：1. 分组示例：8.4~8.6,8.6~8.8,...，频数最多的是8.8~9.0或9.0~9.2，需具体统计。2. 最大矩形对应频数最大的组。3. 建议组距为1或2吨，画图略。