因数和倍数

一、概念导入：分糖游戏

过年时小明妈妈买了12颗奶糖，想平均分给几个小朋友（每人分得同样多，不能有剩余）。小明数了数，可以分给1个小朋友（每人12颗），也可以分给2个小朋友（每人6颗），还可以分给3个、4个、6个、12个小朋友。这些数字1、2、3、4、6、12就是12的因数。而每人分得的颗数12、6、4、3、2、1，都是12的倍数吗？注意：倍数通常指一个数能被另一个数整除，比如12是2的倍数，因为12÷2=6；但反过来，2不是12的倍数。所以这里说的“每人分得的颗数”中，只有12本身是12的倍数？其实我们更关注的是：

• 因数：如果整数a×b=c（a、b、c都是整数），那么a和b就是c的因数。
• 倍数：如果a×b=c，那么c就是a和b的倍数。

12的因数有：1, 2, 3, 4, 6, 12。12的倍数有：12, 24, 36, 48……（无限个）。

二、核心讲解：因数和倍数的定义

如果整数a能被整数b整除（b≠0），那么a就是b的倍数，b就是a的因数。例如：12÷3=4，所以12是3的倍数，3是12的因数。注意因数与倍数是相互依存的，不能单独说“某个数是因数”或“某个数是倍数”，而要说“谁是谁的因数”“谁是谁的倍数”。

因数通常成对出现。比如12的因数有(1,12)、(2,6)、(3,4)。

三、找一个数的因数的方法

方法：从1开始一对一对地找，直到两个因数非常接近为止。例如找36的因数：

1. 1×36=36 → (1,36)
2. 2×18=36 → (2,18)
3. 3×12=36 → (3,12)
4. 4×9=36 → (4,9)
5. 5不行
6. 6×6=36 → (6,6) 注意：只写一个6
7. 再往后7、8更大，但7×？已经超过36，所以停止。

所以36的因数有：1,2,3,4,6,9,12,18,36。

四、找一个数的倍数的方法

方法：用这个数分别乘以自然数1,2,3,4……例如5的倍数：5×1=5, 5×2=10, 5×3=15……所以5的倍数有5,10,15,20……。倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

五、2、5、3的倍数特征（重点）

易错：判断3的倍数要看各位数字之和，不能看个位。例如123：1+2+3=6是3的倍数，所以123是3的倍数。

六、质数与合数

一个数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（也称素数）。如果除了1和它本身还有别的因数，叫做合数。1既不是质数也不是合数。

七、典型例题

八、常见误区

• 误区1：误认为所有偶数都是合数。纠正：2是质数（最小的质数，也是唯一的偶质数）。
• 误区2：找因数时漏掉1和它本身。纠正：每个非零自然数都有因数1和它本身。
• 误区3：认为倍数的个数是有限的。纠正：倍数的个数是无限的。
• 误区4：判断3的倍数只看个位。例如13的个位是3，但1+3=4不是3的倍数，所以13不是3的倍数。

九、学习建议

• 动手操作：用小棒、牙签等实物摆一摆，理解因数的成对性。
• 编口诀：比如“2的倍数看个位，0、2、4、6、8；5的倍数也看个位，0和5记心间；3的倍数看和，各位相加除以3。”
• 练习短除法：多练分解质因数，为以后学习最大公因数、最小公倍数做准备。
• 制作百数表：把1~100中质数和合数分别涂色，观察规律。

十、知识链接

因数和倍数是数论的入门知识，与后续的最大公因数、最小公倍数、约分、通分密切相关。在六年级还会学习比和比例，需要用到因数分解。在生活中，如分配物品、排队、日历中的周期问题等都会用到因数和倍数的知识。

十一、习题自测

1. 写出36的所有因数。
2. 在1~25中，哪些数是质数？哪些是合数？
3. 用短除法分解质因数：60。
4. 一个数既是3的倍数又是4的倍数，这个数最小是多少？

参考答案