最大公因数与最小公倍数

生活中的数学问题

今天是个特殊的日子，老师带来了12块巧克力和18颗奶糖，打算分给班里的同学。老师想：“如果每位同学分到的巧克力一样多，奶糖也一样多，而且全部分完，那最多能分给几位同学呢？”

另外，体育课上，一队同学每12天进行长跑训练，另一队每18天进行跳绳训练。今天两队同时训练了，那么至少再过多少天，他们又会同一天训练呢？

这两个问题分别藏着两个重要的数学概念——最大公因数和最小公倍数。我们一起来探索吧！

认识约数与倍数

首先复习一下老朋友：

• 一个数的因数：能整除这个数的自然数。比如12的因数有：1，2，3，4，6，12。
• 一个数的倍数：这个数乘以自然数得到的数。比如12的倍数有：12，24，36，48……

公因数：两个数共有的因数。例如12和18，都有因数1、2、3、6，其中6是最大的，叫做最大公因数。

公倍数：两个数共有的倍数。例如12和18，都有倍数36、72……，其中36是最小的，叫做最小公倍数。

怎么求最大公因数和最小公倍数？

方法一：列举法

步骤1：分别列出两个数的所有因数。

12的因数：1，2，3，4，6，12

18的因数：1，2，3，6，9，18

步骤2：找出公因数：1，2，3，6 → 最大是6。

求最小公倍数也可以列举：

12的倍数：12，24，36，48，60，72……

18的倍数：18，36，54，72……

第一个出现的公倍数是36。

方法二：短除法（更高效）

短除法像搭楼梯一样，用两个数的公因数依次去除。

最大公因数 = 左边所有除数相乘：$2 \times 3 = 6$

最小公倍数 = 左边除数 × 下面最后的商：$2 \times 3 \times 2 \times 3 = 36$

注意：短除法一直除到下面两个数互为质数（没有公因数1以外的数）为止。

方法三：分解质因数法

先把每个数写成质因数相乘的形式：

$12 = 2 \times 2 \times 3$

$18 = 2 \times 3 \times 3$

最大公因数 = 两边都有的质因数连乘：$2 \times 3 = 6$

最小公倍数 = 两边的质因数全部出现，但重复的只取一次：

$2 \times 2 \times 3 \times 3 = 36$（多出来的2属于12，多出来的3属于18）

典型例题

常见误区要小心

• 混淆哥俩：求“最大公因数”却把所有的因数都乘起来（那是求最小公倍数的方法）。记住：最大公因数只乘右边（短除法中左边的数）；最小公倍数要把左边和下面全部乘起来。
• 漏掉公因数：比如10和15，公因数除了5还有1，1也是公因数，但最大是5。不要忘记1。
• 除到不互质：短除法最后两个数必须只有公因数1（互为质数），否则漏乘了。
• 忽视单位：应用题中，最大公因数的结果常常是“份数”“人数”，而最小公倍数的结果是“总数”“总天数”。

学习小建议

• 多练习列举：刚开始用列举法找因数和倍数，能帮助理解概念，不容易出错。
• 短除法要熟练：短除法是“万能钥匙”，一定要记住格式：左边写除数，下面写商，一直除到互质。算出最大公因数后，最小公倍数就不用再列倍数了。
• 画图帮助理解：像图1那样把因数、倍数用集合圈画出来，能一眼看出公有的部分。
• 和同桌互相出题：一个人写两个数，另一个人用两种方法求出最大公因数和最小公倍数，互相检查。

知识链接

最大公因数和最小公倍数是五年级因数和倍数知识的精华，后面学习通分和约分时会大量用到：

• 约分：用分子分母的最大公因数去除，得到最简分数。
• 通分：用两个分母的最小公倍数作为公分母。
• 未来六年级学习分数加减法、比例，也离不开这两个好帮手。

习题自测（试试你的本事吧！）

1. 求15和20的最大公因数和最小公倍数。
2. 一箱苹果，如果每个小朋友分4个，正好分完；如果每个小朋友分6个，也正好分完。这箱苹果至少有多少个？
3. 有两根绳子，一根长16米，一根长24米，要截成同样长的短绳（没有剩余），每根短绳最长多少米？一共可以截成几段？

参考答案

1. 15和20：最大公因数5，最小公倍数60。
2. 苹果个数是4和6的公倍数，最小公倍数是12，所以至少12个。
3. 每根短绳最长是16和24的最大公因数8米。第一根截成16÷8=2段，第二根截成24÷8=3段，一共2+3=5段。