有理数及其运算——温度计里的数学秘密
从身边的温度变化出发，认识正负数、数轴、相反数、绝对值，学会有理数的加、减、乘、除运算，并解决生活中的实际问题。
概念导入：从温度计说起
冬天，北京的气温可能是 -5℃，而夏天可能达到 35℃。这里的“-5”表示比0℃低5度，“35”表示比0℃高35度。像这样带有“+”或“-”符号的数，就是有理数。生活中还有海拔（海平面以上为正、以下为负）、收支（收入为正、支出为负）等例子，都离不开有理数。
核心讲解：什么是有理数？
有理数是可以写成分数形式 $\frac{p}{q}$ 的数，其中 $p$、$q$ 是整数，且 $q\neq 0$。它包含：
- 整数：…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…
- 分数：正分数（如 $\frac{1}{2}$、$3.14$）和负分数（如 $-\frac{2}{3}$、$-0.25$）
有理数可以按符号分为正有理数、0、负有理数。所有有理数都可以在数轴上表示出来。
数轴与相反数
数轴上，到原点距离相等的两个点，它们表示的数互为相反数。例如 2 和 -2 互为相反数，$ \frac{3}{4} $ 和 $- \frac{3}{4}$ 也互为相反数。相反数的和为 0。
绝对值表示一个数到原点的距离，用“| |”表示。如 $|5|=5$，$|-5|=5$，$|0|=0$。
有理数的运算
加法
同号相加：符号不变，绝对值相加。如 $(-3)+(-5)=-(3+5)=-8$。
异号相加：取绝对值大的符号，用大绝对值减小绝对值。如 $(-9)+4=-(9-4)=-5$。
可以用数轴来理解加法：向右移动表示加正数，向左移动表示加负数。
减法
减去一个数，等于加上这个数的相反数。即 $a-b = a+(-b)$。例如 $(-3)-(-7)=(-3)+7=4$。
乘法与除法
两数相乘（除）同号得正，异号得负，并把绝对值相乘（除）。例如 $(-3)\times(-4)=12$，$(-6)\div3=-2$。
注意：0乘任何数都得0；0不能作除数。
典型例题
例1 某天北京的最高气温是3℃，最低气温是-8℃，这一天温差是多少？
思路：温差 = 最高气温 - 最低气温 = 3 - (-8) = 3 + 8 = 11（℃）。
易错点：不要写成 3 - 8 = -5，减负数等于加正数。
例2 计算 $(-2) + 5 - (-3) \times 2 \div \frac{1}{2}$。
步骤：先算乘法除法，再算加减。
- $(-3) \times 2 = -6$
- $-6 \div \frac{1}{2} = -6 \times 2 = -12$
- 原式变为 $(-2) + 5 - (-12) = (-2)+5+12 = 15$
注意：除法要转化为乘法，除以一个数等于乘以它的倒数。
例3 若 $|a|=3$，$|b|=2$，且 $a
由 $|a|=3$ 得 $a=\pm3$，由 $|b|=2$ 得 $b=\pm2$。由于 $a 所以 $a+b$ 的值为 -5 或 -1。
常见误区
- 符号混淆：$(-5)+(-3)=-8$ 易写成 $2$，把符号当减号。
- 运算顺序错误：先乘除后加减，乘方优先。例如 $2+3\times(-1)$ 应先算乘法得 $2-3=-1$。
- 绝对值错误：$|-5|=5$ 不是 $-5$；$|a|$ 表示距离，总是非负数。
学习建议
用数轴辅助理解加减法：画箭头表示移动方向，加正数向右，加负数向左。把绝对值想象成“步数”，符号决定方向。多练习找规律，例如：
- 两个负数相加，结果更负
- 正数减负数，得正（如 5 - (-2) = 7）
知识链接
有理数是小学学过的整数、分数和小数的扩展，也是进入初中后学习数轴、相反数、绝对值的基础。将来还会用到有理数运算来解方程、求代数式的值，甚至为初二学习实数（无理数）做铺垫。
习题自测
- 计算：$(-12) - (+15) + (-8) - (-5)$
- 若 $a$、$b$ 互为相反数，$c$、$d$ 互为倒数，$|m|=3$，求 $a+b+\frac{cd}{m}$ 的值。
- 某地一天中，1时气温为-7℃，7时上升了3℃，13时又上升了5℃，19时下降了6℃，求19时的气温。
参考答案
- 原式 $=-12-15-8+5=-30$
- $a+b=0$，$cd=1$，$m=\pm3$，所以原式 $=0+\frac{1}{\pm3}=\frac{1}{3}$ 或 $-\frac{1}{3}$
- $-7+3+5-6=-5$（℃）