任意角的概念

解：

• (1) 420° = 60° + 360° × 1，终边与60°相同，是第一象限角。
• (2) −150° = 210° − 360° × 1，终边与210°相同，在第三象限（因为210°终边在第三象限）。
• (3) 180°终边在 x 轴负半轴上，是轴线角（不属于象限角）。
• (4) 1200° ÷ 360° = 3 余 120°，即1200° = 120° + 3×360°，终边与120°相同，是第二象限角。

易错点：求余数时不要用角度除以360后的小数，而是用整圈数相减。例如1200−3×360=120。

解：集合为 $$S = \{\, \beta \,|\, \beta = -210^\circ + k\cdot 360^\circ,\, k\in\Z \,\}$$ 当 k 取不同整数时，得到一系列角。要找出0°到360°之间的角：让 k=1，β = −210°+360°=150°；k=0 时 β=−210°（不在0°~360°）；k=2 时 β=510°（超过360°）。
因此，在0°到360°内与−210°终边相同的角是 150°。
易错点：写成集合时，必须明确 k 是整数（Z），不能漏掉 k 的范围。另外注意“终边相同”≠“相等”，它们只是终边位置一样，旋转圈数不同。

解：第三象限角 α 的范围可以表示为：$$180^\circ + k\cdot 360^\circ < \alpha < 270^\circ + k\cdot 360^\circ,\quad k\in\Z$$ 两边乘以2：$$360^\circ + 2k\cdot 360^\circ < 2\alpha < 540^\circ + 2k\cdot 360^\circ$$ 即 $$360^\circ(1+2k) < 2\alpha < 540^\circ(1+2k).$$ 当 k 取任意整数时，观察 2α 的范围区间长度 = 180°。我们将区间端点减去适当的360°的倍数使它们落在标准区间（0°~360°）内：
令 k=0：360° < 2α < 540°，相当于 2α ∈ (360°,540°)。减去360°得 (0°,180°)。但注意540°对应的终边与180°相同，而540°本身对应180°终边。当2α∈(360°,540°)时，其终边可能落在第一或第二象限？我们来仔细分析：
将区间 (360°,540°) 的每个角减去360°得 (0°,180°)。但注意360°是轴线（x轴正半轴），540°对应180°（x轴负半轴），所以实际 2α 的终边范围是 (第一象限和一部分第二象限)？具体：
当 α 在第三象限取最小值（略大于180°），2α略大于360°（第一象限界线），当 α 接近270°时，2α接近540°（即180°的终边）。所以 2α 从略大于360°（第一象限）增加到略小于540°（第二象限边界）。因此 2α 的终边可能落在 第一象限或第二象限。
再考虑 k=1 时：360°×3=1080° < 2α < 540°+720°=1260°，减去360°×3得 (0°,180°) 同样结论。所以 2α 的终边总是在第一或第二象限。
易错点：不能简单认为第三象限角的一半是某一确定象限，需要分 k 的奇偶讨论。此类问题常用“分 k 为偶数和奇数”方法。