导数及其应用（深度讲解）

思路：先求导求临界点，再比较区间端点值。

步骤：

• 求导：\( f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1) \)。
• 令 \( f'(x)=0 \)，得 \( x=1 \) 或 \( x=-1 \)，均在 \([-2,2]\) 内。
• 计算函数值：\( f(-2)=(-8)+6+1=-1 \)；\( f(-1)=(-1)+3+1=3 \)；\( f(1)=1-3+1=-1 \)；\( f(2)=8-6+1=3 \)。
• 比较得最大值 \( 3 \)（在 \( x=-1,2 \) 处），最小值 \( -1 \)（在 \( x=-2,1 \) 处）。

易错提示：不要忘记比较端点值，也不要把极值直接当作最值。

思路：建立表面积关于半径的函数，用导数求极值。

步骤：

• 由容积 \( V=\pi r^2 h = 1000 \)，得 \( h = \frac{1000}{\pi r^2} \)。
• 无盖圆柱表面积 \( S = \pi r^2 + 2\pi r h = \pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{1000}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2000}{r} \)，定义域 \( r>0 \)。
• 求导：\( S'(r) = 2\pi r - \frac{2000}{r^2} \)。令 \( S'(r)=0 \) 得 \( 2\pi r = \frac{2000}{r^2} \Rightarrow r^3 = \frac{1000}{\pi} \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{1000}{\pi}} \approx 6.83 \;\mathrm{cm} \)。
• 当 \( rr_0 \) 时 \( S'(r)>0 \)，故 \( r_0 \) 处取得极小值，也是最小值。
• 代入得 \( h = \frac{1000}{\pi r^2} \approx \frac{1000}{\pi \cdot 46.7} \approx 6.83 \;\mathrm{cm} \)。

结论：当 \( r=h=\sqrt[3]{1000/\pi} \) 时用料最省，此时水桶底面半径约等于高。

思路：含参导数问题，需分类讨论导数零点及其正负。

步骤：

• 求导：\( f'(x)=e^x - a \)。
• 令 \( f'(x)=0 \) 得 \( e^x = a \Rightarrow x = \ln a \)（仅当 \( a>0 \) 时有解）。
• 分类讨论：
• 若 \( a \le 0 \)，则 \( f'(x)=e^x - a \ge e^x >0 \) 恒成立，\( f(x) \) 在 \( \mathbb{R} \) 上单调递增，无极值。
• 若 \( a>0 \)，当 \( x<\ln a \) 时 \( e^x\ln a \) 时 \( e^x>a \)，\( f'(x)>0 \)，\( f(x) \) 递增。故 \( x=\ln a \) 处取得极小值：\( f(\ln a)=e^{\ln a} - a \ln a = a - a\ln a \)。