不等式选讲专题：绝对值、均值与柯西的不等式综合

解答：

(1) 零点分界：令$x+1=0$得$x=-1$，$x-2=0$得$x=2$。分区间讨论：

• 当$x<-1$时，$f(x)=-(x+1)-[-(x-2)]=-x-1+x-2=-3$，恒有$f(x)<3$，故$x<-1$为解的一部分；
• 当$-1\leq x<2$时，$f(x)=(x+1)-[-(x-2)]=x+1+x-2=2x-1$，不等式$2x-1<3$解得$x<2$，所以$-1\leq x<2$；
• 当$x\geq 2$时，$f(x)=(x+1)-(x-2)=3$，不等式$3<3$不成立，故无解.

综上，原不等式解集为$(-\infty,2)$.

(2) 由上述讨论或利用绝对值三角不等式：$||x+1|-|x-2||\leq|(x+1)-(x-2)|=3$，故$f(x)$的最大值为$3$（当$x\geq 2$时取等）。要使$f(x)\leq m$恒成立，只需$m\geq f(x)_{\max}=3$，因此$m$的最小值为$3$.

易错点：忘记$x\geq 2$时$f(x)=3$，直接认为$f(x)<3$，造成第二问错误认为$m>3$。

解答： 观察条件与目标：条件是一次式，目标是平方和。联想到柯西不等式——平方和与一次式的乘积关系。构造：

于是$a^2+b^2+c^2\geq \frac{36}{14}=\frac{18}{7}$。等号成立当且仅当$\frac{a}{1}=\frac{b}{2}=\frac{c}{3}=k$，结合$a+2b+3c=6$得$k+2\cdot2k+3\cdot3k=14k=6$，解得$k=\frac{3}{7}$，所以$a=\frac{3}{7},b=\frac{6}{7},c=\frac{9}{7}$.

易错点：柯西不等式配凑时系数写错，或忘记验证等号成立条件。

解答： 注意到分母为$|x|-|y|$，分子为$x^2+y^2$，可考虑用均值或换元。设$u=|x|,v=|y|$，则$u>v\geq 0$或$uv$，则原式= $\frac{u^2+v^2}{u-v}$。令$t=u-v>0$，则$u=v+t$，原式= $\frac{(v+t)^2+v^2}{t}=\frac{2v^2+2vt+t^2}{t}=2v+2v+\frac{t^2}{t}=4v+ t$？等一下，计算：$\frac{2v^2+2vt+t^2}{t} = \frac{2v^2}{t}+2v+t$。现在求最小值，其中$v>0$，$t>0$。利用均值不等式：$\frac{2v^2}{t}+t \geq 2\sqrt{2}v$（当$\frac{2v^2}{t}=t$即$t=\sqrt{2}v$时取等）。于是原式$\geq 2v+2\sqrt{2}v = 2(1+\sqrt{2})v$，但$v$可任意正数，最小值似乎为0？不对——因为$v$可以趋于0，但$u>v$，$t$也趋于0？需检查等号条件。实际上当$v\to 0$时，$\frac{2v^2}{t}+t$能小到0吗？需要$t\to 0$且$v$保持与$t$的平方关系？这有矛盾，因为$t=\sqrt{2}v$，$v\to 0$时$t\to 0$，但原式$\to 0$。但题目问最小值，是否确为0？需验证：取$v=0$则$y=0$，$|x|\neq 0$，原式=$\frac{x^2}{|x|}=|x|$，当$x\to 0$时趋于0，但$x=0$时$|x|=|y|$，矛盾。所以$v$不能为0，但可以趋近0，原式趋近0，但取不到。因此下确界为0，无最小值。但题目可能要求最小值？也许我理解有误，条件$|x|\neq|y|$排除相等，但可以无限接近。如果问题来自竞赛，很可能最小值是$2\sqrt{2}$？再看：我们之前不等式放缩放过了方向。正确做法：固定$u-v=t$，则$\frac{u^2+v^2}{u-v} = \frac{(v+t)^2+v^2}{t} = \frac{2v^2+2vt+t^2}{t}$，这关于$v$是二次函数，当$v=-\frac{t}{2}$时取极小，但$v>0$，所以最小值在边界v→0时？实际上，将$v$视为变量，$t$固定，则原式关于$v$开口向上，对称轴$v=-\frac{t}{2}<0$，所以在$v>0$时随$v$增大而增大，故最小值在$v\to 0^+$时取得，但$t$也可自由选择。当$v\to 0^+$，原式≈$\frac{t^2}{t}=t$，$t$可以任意小，所以原式下确界0。因此若题目要求最小值，则答案为0（但取不到）或不存在最小值。这题有点问题，为了教学目的，我们换一道更合适的。下面修改例题3为一道能取得最小值的题。

改为例3： 已知实数$x,y$满足$x>y>0$，求$\frac{x^2+y^2}{x-y}$的最小值.

解答： 令$t=x-y>0$，则$x=y+t$，原式=$\frac{(y+t)^2+y^2}{t}=\frac{2y^2+2yt+t^2}{t}= \frac{2y^2}{t}+2y+t$。固定$t$，当$y$最小时？不，$y$可正。这里$y$和$t$独立。应用均值：$\frac{2y^2}{t}+t \geq 2\sqrt{2}y$，所以原式$\geq 2y+2\sqrt{2}y = 2(1+\sqrt{2})y$，右边关于$y$递增，当$y\to 0^+$时趋近0，但$y>0$，所以下确界仍为0。这说明二次型的结构导致无法取得正最小值。需有额外约束或改变形式。看来我选例不当。为避免混乱，本例替换为一道经典的综合题：

修正例3： 已知正实数$a,b$满足$a+b=1$，求$\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2$的最小值.

解答： 展开：$a^2+\frac{1}{a^2}+b^2+\frac{1}{b^2}+4$。由均值：$a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2\geq \frac{1}{2}\left(\frac{4}{a+b}\right)^2=8$（因为$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$）。所以原式$\geq \frac{1}{2}+8+4=12.5$，等号当$a=b=\frac12$时成立。最小值为$\frac{25}{2}$.