交变电流与变压器
本讲从正弦式交变电流的产生与描述出发，引出有效值的概念与计算；再基于电磁感应原理，推导理想变压器的电压、电流、功率关系，并结合典型例题强化应用，帮助学生掌握交流电路的核心分析思路。
一、交变电流
1. 从生活走进交变电流
我们日常使用的家用电器（电灯、空调、冰箱）都接在220V的插座上。这种220V的电压并不是恒定不变的，而是大小和方向随时间周期性变化——这就是交变电流。与干电池提供的直流电（方向不变）形成鲜明对比。
2. 正弦式交变电流的产生
在匀强磁场中，让矩形线圈绕垂直于磁场的轴匀速转动，线圈中就会产生正弦式交变电动势。设线圈的匝数为N，面积为S，磁感应强度为B，转动角速度为ω，则经过t时刻线圈平面与中性面的夹角为ωt，此时电动势的瞬时值：
$$e = N B S \omega \sin\omega t = E_m \sin\omega t$$其中$E_m = N B S \omega$称为峰值。对应的电流、电压也按正弦规律变化：$i=I_m\sin\omega t$，$u=U_m\sin\omega t$。
3. 描述交变电流的物理量
- 周期$T$：完成一次周期性变化所需的时间（单位s）。
- 频率$f$：1秒内完成周期性变化的次数（单位Hz），$f=1/T$。
- 角频率$\omega$：$\omega=2\pi/T=2\pi f$。
- 瞬时值、峰值、有效值：瞬时值$e=E_m\sin\omega t$；峰值$E_m$；对于正弦交流电，有效值$E=E_m/\sqrt{2}$（根据电流热效应等效得出）。
- 平均值：$\overline{E}=N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$，用于计算一段时间内通过的电量，注意与有效值区别。
4. 有效值的推导（以正弦交流电为例）
让交流电和直流电分别通过同一电阻R，在相同时间T内产生相同的热量。对于正弦交流电$i=I_m\sin\omega t$，在一个周期内产生的热量：
$$Q_{ac}=\int_0^T i^2R dt = I_m^2R\int_0^T \sin^2\omega t dt = \frac{I_m^2R T}{2}$$对于直流电$Q_{dc}=I^2 R T$，令$Q_{ac}=Q_{dc}$得$I=I_m/\sqrt{2}$。同理$U=U_m/\sqrt{2}$。
二、变压器
1. 变压器的结构
变压器由原线圈（初级线圈）、副线圈（次级线圈）和闭合铁芯组成。铁芯的作用是增强磁通量并减小漏磁，使能量高效传递。
2. 变压器的工作原理
原线圈通入交变电流，在铁芯中产生变化的磁通量，副线圈因电磁感应（互感）产生感应电动势。若副线圈接负载，则有感应电流输出，实现能量从原边到副边的传递。
3. 理想变压器的三个基本关系
理想变压器忽略铜损、铁损、漏磁，效率100%。
- 电压关系：$\displaystyle\frac{U_1}{U_2}=\frac{n_1}{n_2}$（原副线圈电压之比等于匝数之比）
- 电流关系（一个副线圈）：$\displaystyle\frac{I_1}{I_2}=\frac{n_2}{n_1}$（电流与匝数成反比）
- 功率关系：$P_1=P_2$，即$U_1I_1=U_2I_2$
4. 重要推导
由法拉第电磁感应定律，穿过每匝线圈的磁通量变化率相同：
$$U_1=n_1\frac{\Delta\Phi}{\Delta t},\quad U_2=n_2\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$$两式相除即得$U_1/U_2=n_1/n_2$。对于理想变压器，$U_1I_1=U_2I_2$，代入电压比即得电流比。
三、典型例题
例1（基础）
一正弦交流电的电动势瞬时值表达式为$e=311\sin100\pi t\;\mathrm{V}$，求该交流电的电动势有效值、周期和频率。
思路：根据表达式读出峰值$E_m=311\,\mathrm{V}$，角频率$\omega=100\pi\,\mathrm{rad/s}$，然后利用正弦交流电的有效值公式以及$T=2\pi/\omega$计算。
解答：
峰值$E_m=311\,\mathrm{V}$，有效值$E=\dfrac{E_m}{\sqrt{2}}=\dfrac{311}{1.414}\approx220\,\mathrm{V}$。
角频率$\omega=100\pi$，周期$T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{100\pi}=0.02\,\mathrm{s}$，频率$f=\dfrac{1}{T}=50\,\mathrm{Hz}$。
易错提醒：注意有效值不是峰值除以2，而是除以$\sqrt{2}$，且仅适用于正弦交流电。
例2（中等）
理想变压器原、副线圈匝数比为4:1，原线圈两端接正弦交流电源，其电压$u_1=220\sqrt{2}\sin100\pi t\,\mathrm{V}$；副线圈接一电阻$R=10\,\Omega$。求：
(1) 副线圈两端电压的有效值；
(2) 原线圈中的电流有效值。
思路：先求出原线圈电压有效值$U_1=220\,\mathrm{V}$（因为$220\sqrt{2}$是峰值）；然后根据匝数比求$U_2$；再用欧姆定律求$I_2$；最后利用功率守恒或电流比求$I_1$。
解答：
(1) 原线圈电压有效值$U_1=220\,\mathrm{V}$，匝数比$n_1:n_2=4:1$，由$\dfrac{U_1}{U_2}=\dfrac{n_1}{n_2}$得$U_2=U_1\cdot\dfrac{n_2}{n_1}=220\times\dfrac{1}{4}=55\,\mathrm{V}$。
(2) 副线圈电流有效值$I_2=\dfrac{U_2}{R}=\dfrac{55}{10}=5.5\,\mathrm{A}$。
由$\dfrac{I_1}{I_2}=\dfrac{n_2}{n_1}$得$I_1=I_2\cdot\dfrac{n_2}{n_1}=5.5\times\dfrac{1}{4}=1.375\,\mathrm{A}$。
易错提醒：切勿混淆电压比与电流比的关系（电压与匝数成正比，电流与匝数成反比）。
例3（提高）
一个理想变压器有两个副线圈，原线圈匝数$n_1=1000$，两个副线圈匝数$n_2=200$，$n_3=100$。原线圈接$U_1=220\,\mathrm{V}$交流电。两个副线圈分别接电阻$R_2=20\,\Omega$，$R_3=10\,\Omega$。求原线圈中的电流$I_1$。
思路：先由匝数比分别求出两个副线圈的电压$U_2$、$U_3$；再计算各自功率$P_2$、$P_3$；理想变压器输入功率等于输出功率之和：$U_1I_1=P_2+P_3$，从而解得$I_1$。
解答：
$U_2=U_1\cdot\dfrac{n_2}{n_1}=220\times\dfrac{200}{1000}=44\,\mathrm{V}$，$U_3=U_1\cdot\dfrac{n_3}{n_1}=220\times\dfrac{100}{1000}=22\,\mathrm{V}$。
$P_2=\dfrac{U_2^2}{R_2}=\dfrac{44^2}{20}=96.8\,\mathrm{W}$，$P_3=\dfrac{U_3^2}{R_3}=\dfrac{22^2}{10}=48.4\,\mathrm{W}$。
总输出功率$P_{out}=P_2+P_3=145.2\,\mathrm{W}$，由于$P_{in}=U_1I_1=P_{out}$，所以$I_1=\dfrac{145.2}{220}\approx0.66\,\mathrm{A}$。
易错提醒：多个副线圈时，电流关系不能用简单的$I_1:I_2=n_2:n_1$，必须利用功率守恒或磁动势平衡（$n_1I_1=n_2I_2+n_3I_3$）求解。
四、常见误区
- 误区一：认为交流电的有效值就是平均值。实际上有效值从发热等效定义，平均值是$\overline{E}=N\Delta\Phi/\Delta t$，两者不同。
- 误区二：认为变压器能改变直流电压。变压器的原理是电磁感应，只有变化的磁通才能产生感应电动势，因此只能用于交流电。
- 误区三：认为电压和电流都满足$U_1/U_2=n_1/n_2$，$I_1/I_2=n_1/n_2$。正确关系是电压比等于匝数比，电流比等于匝数比的倒数。
- 误区四：处理多个副线圈时，直接套用单副线圈的电流公式。正确做法是利用功率守恒或$n_1I_1=n_2I_2+n_3I_3+\dots$。
五、学习建议
- 熟记正弦交流电的有效值公式$U=\dfrac{U_m}{\sqrt{2}}$，并会从表达式快速读出峰值、周期。
- 理解变压器“变压”的本质是电磁感应中的互感现象，牢记理想变压器的三个基本关系。
- 多画等效电路图，将变压器原副线圈电路与直流电路分析结合起来（如通过匝数比把副线圈电阻“折算”到原边）。
- 做练习时注意区分“有效值”和“平均值”的应用场景（求热量、功率用有效值，求电量用平均值）。
六、知识链接
本讲知识是电磁感应（楞次定律、法拉第电磁感应定律）的延伸应用。后续还会与远距离输电（高压输电减少损耗）、感抗容抗（LC振荡电路）等内容联系紧密。掌握好交变电流与变压器，是学好电学综合问题的基础。
七、习题自测
- 某正弦交流电的电压瞬时值$u=156\sin50\pi t\,\mathrm{V}$，求该电压的峰值、有效值、频率和周期。
- 理想变压器原线圈$n_1=1100$匝，副线圈$n_2=55$匝，原线圈接$220\,\mathrm{V}$交流电，副线圈接$R=11\,\Omega$的电阻。求副线圈电压和原线圈电流。
- 理想变压器原线圈$n_1=200$，两个副线圈$n_2=40$、$n_3=20$，原线圈接$U_1=100\,\mathrm{V}$，副线圈$n_2$开路（不接负载），$n_3$接$R=10\,\Omega$。求原线圈电流。
参考答案：
- $U_m=156\,\mathrm{V}$，$U\approx110.3\,\mathrm{V}$，$f=25\,\mathrm{Hz}$，$T=0.04\,\mathrm{s}$。
- $U_2=11\,\mathrm{V}$，$I_1=0.025\,\mathrm{A}$（$I_2=1\,\mathrm{A}$，$I_1=I_2 n_2/n_1$）。
- 只有$n_3$工作：$U_3=10\,\mathrm{V}$，$P_3=10\,\mathrm{W}$，$I_1=0.1\,\mathrm{A}$。