恒定电流（困难难度）
深入讲解恒定电流的核心规律——闭合电路欧姆定律，从基本概念到复杂电路分析，涵盖电源功率、动态变化、含容电路等难点，配合图像和例题突破思维定式。
概念导入
当你用手电筒照亮黑暗时，一节干电池提供的电流大小和方向都保持不变，这就是“恒定电流”。生活中的直流电源（电池、充电器）都力求输出稳定的电流。然而，实际电源内部有电阻（内阻），外电路变化时，电源两端的电压会随之改变。这一讲，我们就来彻底剖析这个“变化中的不变”——闭合电路欧姆定律。
核心讲解
1. 基本物理量回顾
- 电流：$I = \frac{q}{t}$，方向为正电荷定向移动方向。
- 电阻：$R = \rho \frac{l}{S}$（电阻定律），反映导体对电流的阻碍作用。
- 欧姆定律：$I = \frac{U}{R}$（适用于纯电阻）。
- 焦耳定律：$Q = I^2 R t$（热能）。
2. 闭合电路欧姆定律
电源的电动势为 $E$，内阻为 $r$，外电路的总电阻为 $R$。
定律表达式：$$I = \frac{E}{R+r}$$
路端电压（电源两端的电压）：$$U = E - I r = E - \frac{E r}{R+r} = \frac{E R}{R+r}$$
3. 电源的功率与效率
总功率：$P_{\text{总}} = E I$
内耗功率：$P_{\text{内}} = I^2 r$
输出功率（外电路消耗）：$P_{\text{出}} = U I = E I - I^2 r = \frac{E^2}{(R+r)^2} R$
输出功率随外电阻变化的关系：当 $R = r$ 时，$P_{\text{出}}$ 达到最大值 $P_{\text{max}} = \frac{E^2}{4r}$。
4. 电路的动态分析
当外电路中某个电阻变化时，总电阻变化，总电流、路端电压以及各支路电流、电压会发生“牵一发而动全身”的变化。常用方法：部分→整体→部分（串反并同）。
- 串反：与变化电阻串联的用电器，其电流、电压、功率的变化趋势与电阻变化趋势相反。
- 并同：与变化电阻并联的用电器，其电流、电压、功率的变化趋势与电阻变化趋势相同。
注意：“串反并同”适用于在变化的电阻两端接有理想电压表或电流表且电源内阻不可忽略的情况。
5. 含电容器电路
电容器在直流电路中，当电路稳定后相当于断路（极板间无电流）。解题关键是求出电容器两端电压（等于与之并联的电阻两端的电压）。注意充电、放电瞬间的暂态过程（高中不要求定量计算，但要理解变化）。
典型例题
例1（基础）
电动势 $E=12V$，内阻 $r=1\Omega$ 的电源给一个 $R=5\Omega$ 的电阻供电，求：
(1) 回路电流；
(2) 路端电压；
(3) 电源的输出功率和效率。
解：
(1) $I = \frac{E}{R+r} = \frac{12}{5+1} = 2\text{A}$。
(2) $U = E - Ir = 12 - 2\times1 = 10\text{V}$（或 $U=IR=2\times5=10\text{V}$）。
(3) $P_{\text{出}} = UI = 10\times2 = 20\text{W}$；效率 $\eta = \frac{P_{\text{出}}}{P_{\text{总}}} = \frac{20}{12\times2}=83.3\%$。
例2（中等）
如图所示电路中，电源电动势 $E=9V$，内阻 $r=2\Omega$，$R_1=3\Omega$，$R_2=6\Omega$，$R_3=4\Omega$。当开关S闭合时，求通过 $R_2$ 的电流；若断开S，通过 $R_2$ 的电流如何变化？（要求用两种方法：传统分析法和串反并同法）
解：
S闭合时，$R_1$ 与 $R_2$ 并联后与 $R_3$ 串联。总电阻 $R_{\text{外}} = \frac{R_1R_2}{R_1+R_2} + R_3 = \frac{3\times6}{9} + 4 = 2+4=6\Omega$。
总电流 $I = \frac{E}{R_{\text{外}}+r} = \frac{9}{6+2}=1.125\text{A}$。
并联部分电压 $U_{\text{并}} = I \times \frac{R_1R_2}{R_1+R_2} = 1.125\times2 = 2.25\text{V}$。
通过 $R_2$ 的电流 $I_2 = \frac{U_{\text{并}}}{R_2} = \frac{2.25}{6}=0.375\text{A}$。
S断开后，$R_1$ 断路，$R_2$ 与 $R_3$ 串联。总电阻 $R_{\text{外}}' = R_2+R_3 = 6+4=10\Omega$。
总电流 $I' = \frac{9}{10+2}=0.75\text{A}$，$I_2' = I' = 0.75\text{A}$。
可见通过 $R_2$ 的电流从0.375A增大到0.75A。
串反并同法：S断开相当于 $R_1$ 的阻值变为无穷大（增大），$R_2$ 与 $R_1$ 是并联关系，根据“并同”，$R_2$ 的电流变化与 $R_1$ 相同（增大），所以 $I_2$ 增大。结果一致。
例3（困难）
如图所示，电源电动势 $E=10V$，内阻 $r=1\Omega$，$R_1=4\Omega$，$R_2=6\Omega$，$C=20\mu F$，开关S闭合足够长时间后，求电容器 $C$ 所带的电荷量；若将开关S断开，求流过 $R_2$ 的总电荷量。
解：
S闭合时，电路稳定后电容器相当于断路，外电路为 $R_1$ 和 $R_2$ 串联。总电流 $I = \frac{E}{R_1+R_2+r} = \frac{10}{4+6+1}= \frac{10}{11}\approx0.909\text{A}$。
电容器两端电压等于 $R_2$ 两端电压 $U_C = I R_2 = \frac{10}{11}\times6 = \frac{60}{11}\text{V}\approx5.45\text{V}$。
电容器带电量 $Q = C U_C = 20\times10^{-6} \times \frac{60}{11} = \frac{1200}{11}\times10^{-6} \approx 1.09\times10^{-4} \text{C} = 109\mu\text{C}$。
S断开后，电源与电路断开，电容器通过 $R_1$ 和 $R_2$ 放电。放电过程中通过 $R_2$ 的电荷量等于电容器初始带电量（因为放电电流全部流过 $R_1$ 和 $R_2$，但电荷分配取决于电阻？实际上，电容器放电时，$R_1$ 和 $R_2$ 串联，流过 $R_2$ 的电荷量等于电容器放电的电荷量，因为通过同一回路的电荷量相同）。但注意：电容器两极板间电荷流动，正负极板电荷中和，通过 $R_2$ 的电荷量就是电容器储存的电荷量（$Q$），因为整个回路电荷守恒。所以流过 $R_2$ 的总电荷量 $Q_{R2}=Q\approx109\mu\text{C}$。
易错点：误以为流过 $R_2$ 的电荷量是 $Q$ 乘以电阻分压比例，这是混淆了电压分配和电荷分配。在放电过程中，串联回路各电阻流过的电荷量相等。
常见误区
- 忽略内阻：许多学生以为电源两端电压恒定等于电动势，实际路端电压随负载变化。
- 输出功率最大误解：当 $R=r$ 时输出功率最大，但效率只有50%，并非效率最高。效率随 $R$ 增大而增大，趋近100%。
- 电容器“短路”错觉：稳定时电容器断路，但充放电瞬间有电流，误以为电流一直存在。
- 非纯电阻电路用欧姆定律：如电动机，不能直接使用 $I=U/R$，必须用 $P_{\text{电}}=UI$ 和 $P_{\text{热}}=I^2R$ 区分。
学习建议
- 熟记闭合电路欧姆定律两种形式：$I=\frac{E}{R+r}$ 和 $U=E-Ir$。
- 画等效电路图，尤其当电容器、电表内阻需要处理时。
- 对动态分析题，先判断总电阻变化，再利用串反并同快速判断局部变化。
- 多练习含电容器电路，注意电荷量的计算和放电方向。
知识链接
恒定电流的知识是电磁学的基础，后续学习交变电流、电磁感应时需反复应用闭合电路欧姆定律。同时，与静电场的电势差、电容概念紧密结合。在物理实验中（如测电源电动势和内阻），U-I图像法是重要手段。
习题自测
- 电动势为 $E$、内阻为 $r$ 的电源外接一可变电阻 $R$，当 $R$ 从0增加到无穷大时，路端电压 $U$ 随 $R$ 的变化关系正确图像是（ ）。
- 如图所示，$R_1=2\Omega$，$R_2=4\Omega$，$R_3=6\Omega$，电源内阻 $r=1\Omega$，$E=12V$。当开关S闭合时，电容器 $C$ 两端电压为多少？（$C$ 足够大）
- 电源电动势 $E=6V$，内阻 $r=1\Omega$，外接电阻 $R=9\Omega$，求电源的输出功率；若想使输出功率最大，$R$ 应调为多少？最大输出功率是多少？
参考答案
- 路端电压 $U=ER/(R+r)$，随 $R$ 增大而单调增加，趋于 $E$。故选D（图像略）。
- S闭合时，$R_1$ 和 $R_2$ 并联后与 $R_3$ 串联。总电阻 $R_{\text{外}} = \frac{2\times4}{2+4}+6 = \frac{8}{6}+6 = \frac{4}{3}+6 = \frac{22}{3}\Omega$。总电流 $I = \frac{12}{22/3+1} = \frac{12}{25/3}= \frac{36}{25}=1.44\text{A}$。并联部分电压 $U_{\text{并}} = I \times \frac{8}{6} = 1.44 \times \frac{4}{3} = 1.92\text{V}$。电容器与 $R_2$ 并联，所以 $U_C=U_{\text{并}}=1.92\text{V}$。
- 输出功率 $P_{\text{出}} = \left(\frac{E}{R+r}\right)^2 R = \left(\frac{6}{9+1}\right)^2 \times 9 = (0.6)^2\times9 = 0.36\times9 = 3.24\text{W}$。当 $R=r=1\Omega$ 时输出功率最大，$P_{\text{max}} = \frac{E^2}{4r} = \frac{36}{4}=9\text{W}$。