交变电流与变压器
本讲系统梳理交变电流的产生、描述及变压器的工作原理，从正弦式交流电的函数推导、有效值计算到理想变压器电压比、电流比、功率关系，并拓展至非理想变压器、感抗容抗和远距离输电。配合图形化分析、典型例题和常见误区，助力高三学生攻克难点。
一、交变电流的产生与描述
1.1 正弦式交变电流的产生
将一个矩形线圈绕垂直于匀强磁场的对称轴匀速转动，线圈中就会产生正弦式交变电流。如下图所示，当线圈从平行于磁场（中性面）开始转动时，磁通量最大，感应电动势为零；转过 90° 后磁通量为零，电动势最大。
设线圈匝数为 N，面积为 S，磁感应强度为 B，角速度为 ω，则从中性面开始计时，感应电动势的瞬时值为：
$$e = NBS\omega \sin(\omega t) = E_m \sin(\omega t)$$
其中峰值 $E_m = NBS\omega$。若从线圈与中性面夹角为 φ 开始，则 $e = E_m \sin(\omega t+\varphi)$。
1.2 描述交变电流的物理量
- 峰值：$E_m, I_m, U_m$——最大值。
- 有效值：根据热效应定义，正弦交流电 $E = \frac{E_m}{\sqrt{2}},\quad I = \frac{I_m}{\sqrt{2}},\quad U = \frac{U_m}{\sqrt{2}}$。
- 周期 T：完成一次周期性变化的时间，$T = \frac{2\pi}{\omega}$。
- 频率 f：$f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$。
- 相位与相位差：$\omega t+\varphi$ 为相位，两交流电相位差反映它们的变化步调。
1.3 电感、电容对交变电流的影响
电感线圈对交流电有阻碍作用，感抗 $X_L = 2\pi f L$，频率越高、电感越大，阻碍越强。电容器对交流电有导通作用（充放电），容抗 $X_C = \frac{1}{2\pi f C}$，频率越高、电容越大，阻碍越小。
二、变压器
2.1 变压器的工作原理
变压器是利用电磁感应原理改变交流电压的装置。原线圈通入交变电流，在铁芯中产生交变磁通量，副线圈中产生感应电动势。如下图所示：
对于理想变压器（无功率损耗），有：
$$\frac{U_1}{U_2} = \frac{N_1}{N_2}$$
$$\frac{I_1}{I_2} = \frac{N_2}{N_1}$$
输入功率等于输出功率：$P_1 = P_2$。
2.2 变压器的非理想性
实际变压器存在铜损（线圈电阻发热）、铁损（涡流和磁滞损耗）以及漏磁。效率定义为输出功率与输入功率之比，大型变压器效率可达 99% 以上。
2.3 远距离输电
为减少输电线上的功率损耗 $P_{损}=I^2 R$，采用高压输电。典型流程：发电机 → 升压变压器 → 输电线 → 降压变压器 → 用户。
三、典型例题
例1（基础）：一正弦交流电的电压随时间变化的图像如图所示，求：
(1) 电压的峰值、有效值、周期、频率；
(2) 写出电压瞬时表达式。
解：从图像读出峰值 $U_m = 311\,\text{V}$，有效值 $U = \frac{311}{\sqrt{2}} \approx 220\,\text{V}$，周期 $T = 0.02\,\text{s}$，频率 $f = \frac{1}{T} = 50\,\text{Hz}$，角频率 $\omega = 2\pi f = 100\pi\,\text{rad/s}$。若初相位为零，则瞬时表达式 $u = 311\sin(100\pi t)\,\text{V}$。
例2（中档）：理想变压器原、副线圈匝数比为 10:1，原线圈接 $u_1 = 220\sqrt{2}\sin(100\pi t)\,\text{V}$，副线圈接电阻 $R=10\,\Omega$。求：
(1) 副线圈输出端电压的有效值；
(2) 副线圈中的电流；
(3) 原线圈电流。
解：原线圈电压有效值 $U_1 = 220\,\text{V}$。由 $\frac{U_1}{U_2} = \frac{N_1}{N_2} = 10$，得 $U_2 = 22\,\text{V}$（有效值）。副线圈电流 $I_2 = \frac{U_2}{R} = 2.2\,\text{A}$。理想变压器功率守恒：$P_1 = P_2 = U_2 I_2 = 48.4\,\text{W}$，故原线圈电流 $I_1 = \frac{P_1}{U_1} = \frac{48.4}{220} = 0.22\,\text{A}$。也可用电流比 $\frac{I_1}{I_2} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{1}{10} \Rightarrow I_1 = 0.22\,\text{A}$。
例3（拔高）：一台发电机输出电压 $U_g=250\,\text{V}$，输出功率 $P=100\,\text{kW}$，通过总电阻 $r=5\,\Omega$ 的输电线向远处供电。若直接输电，求用户得到的电压和功率；若采用先升压至 $10\,\text{kV}$ 再输电，最后降压到 $220\,\text{V}$（均视为理想变压器），求输电线上损失的功率和用户得到的电压。
解：直接输电时，输电线电流 $I = \frac{P}{U_g} = \frac{100\times10^3}{250} = 400\,\text{A}$，损失功率 $P_{损} = I^2 r = 400^2 \times 5 = 800\,\text{kW}$（超过输出功率，实际不可能，这里说明低压输电不可取）。实际中会升压。
升压后：升压变压器原副线圈匝数比 $\frac{N_1}{N_2} = \frac{250}{10000} = \frac{1}{40}$。副线圈电压 $U_2 = 10^4\,\text{V}$，电流 $I_2 = \frac{P}{U_2} = \frac{10^5}{10^4} = 10\,\text{A}$。输电线损失功率 $P_{损}' = I_2^2 r = 10^2 \times 5 = 500\,\text{W}$。输电线末端电压 $U_3 = U_2 - I_2 r = 10000 - 10\times 5 = 9950\,\text{V}$。降压变压器原副线圈匝数比 $\frac{N_3}{N_4} = \frac{9950}{220} \approx 45.23$，用户电压约 $220\,\text{V}$。
四、常见误区
- 误区1：认为变压器可以改变直流电压。实际上变压器依靠电磁感应工作，只能变交流。
- 误区2：混淆有效值和峰值，计算功率时必须用有效值。
- 误区3：误以为变压器的输入功率由输出决定。正确：输出功率决定输入功率。
- 误区4：认为变压器原副线圈电流与匝数比成正比。实际是反比。
- 误区5：忽略输电线上的电压降，计算用户电压时直接使用变压器变比。
五、学习建议
- 熟记正弦交流电的四值（峰值、有效值、平均值、瞬时值）的用途。
- 掌握理想变压器的两个基本公式，并会画等效电路图。
- 通过画波形图理解相位概念。
- 结合实际问题（如输电、家电）加深对变压器应用的理解。
六、知识链接
交变电流与恒定电流、电磁感应紧密相关。变压器是电磁感应定律的重要应用，同时与电路分析（欧姆定律、功率）、正弦函数数学知识交织。远距离输电则融合了能量守恒和电路计算。
七、习题自测
- 一个正弦交流电的表达式为 $i = 5\sin(314t)\,\text{A}$，求它的频率、有效值，以及 $t=0.01\,\text{s}$ 时的瞬时值。
- 理想变压器原线圈接 $220\,\text{V}$ 交流电，副线圈有 $100$ 匝，输出电压 $12\,\text{V}$，求原线圈匝数和副线圈电流为 $2\,\text{A}$ 时原线圈电流。
- 输电线路总电阻 $10\,\Omega$，用 $100\,\text{kW}$ 的功率以 $10\,\text{kV}$ 电压输送，求输电线上损失的功率和输电效率。若改用 $50\,\text{kV}$ 输送，效率提升多少？
参考答案：
- 频率 $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{314}{2\times3.14}=50\,\text{Hz}$，有效值 $I = \frac{5}{\sqrt{2}} \approx 3.54\,\text{A}$，瞬时值 $i(0.01) = 5\sin(3.14) = 0\,\text{A}$。
- 由 $\frac{U_1}{U_2}=\frac{N_1}{N_2} \Rightarrow N_1 = \frac{220}{12}\times 100 \approx 1833$ 匝；由电流比 $\frac{I_1}{I_2}=\frac{N_2}{N_1} \Rightarrow I_1 = \frac{100}{1833}\times 2 \approx 0.109\,\text{A}$。
- $I = \frac{P}{U} = \frac{10^5}{10^4} = 10\,\text{A}$，$P_{损}=I^2R=100\times10=1000\,\text{W}$，效率 $\eta = \frac{P-P_{损}}{P}=99\%$；$50\,\text{kV}$ 时 $I=2\,\text{A}$，$P_{损}'=4\times10=40\,\text{W}$，效率 $99.96\%$，提升约 $0.96\%$。