共点力的平衡

思路： 物体静止，处于平衡状态，合力为零。建立直角坐标系（水平为x轴，竖直为y轴）。

解答：

• 竖直方向：重力 G 向下，支持力 N 向上，平衡：$N - G = 0$，所以 $N = G = 20\ \text{N}$。
• 水平方向：拉力 F 向右，摩擦力 f 向左，平衡：$F - f = 0$，所以 $f = F = 8\ \text{N}$。

答案：$N = 20\ \text{N}$（方向竖直向上），$f = 8\ \text{N}$（方向水平向左）。

易错点： 注意摩擦力方向与拉力方向相反；支持力大小并不总是等于重力，只有在水平面上且无竖直方向其他力时才等于重力。

思路： 物体受三个力：重力 G、两绳拉力 F₁ 和 F₂。三力平衡，可以合成矢量三角形（如图3右上角），利用正弦定理或正交分解法求解。

解答（正交分解法）：

1. 建立坐标系：水平方向为x轴，竖直方向为y轴。
2. 分解 F₁ 和 F₂：
   • $F_{1x} = F_1 \sin 30° = \frac{1}{2}F_1$，水平向左。
   • $F_{1y} = F_1 \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}F_1$，竖直向上。
   • $F_{2x} = F_2 \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}F_2$，水平向右。
   • $F_{2y} = F_2 \cos 60° = \frac{1}{2}F_2$，竖直向上。
3. 列平衡方程：
   • x方向：$F_{2x} - F_{1x} = 0$ 即 $\frac{\sqrt{3}}{2}F_2 - \frac{1}{2}F_1 = 0$ (1)
   • y方向：$F_{1y} + F_{2y} - G = 0$ 即 $\frac{\sqrt{3}}{2}F_1 + \frac{1}{2}F_2 = G = 20$ (2)
4. 解方程组：由(1)得 $F_1 = \sqrt{3}F_2$，代入(2): $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3}F_2 + \frac{1}{2}F_2 = 20$ → $\frac{3}{2}F_2 + \frac{1}{2}F_2 = 2F_2 = 20$ → $F_2 = 10\ \text{N}$， $F_1 = \sqrt{3} \times 10 \approx 17.32\ \text{N}$。

答案：$F_1 \approx 17.32\ \text{N}$，$F_2 = 10\ \text{N}$。

易错点： 角度判断错误，误将 F₁ 与竖直方向夹角当作 30°，实际 F₁ 与竖直方向夹角是 30°，与水平方向夹角是 60°。

思路： 球受三个力：重力 G、斜面的弹力 N₁（垂直于斜面向上）、挡板的弹力 N₂（垂直于挡板向右）。三力平衡，可以用矢量三角形或正交分解法求解。

解答（利用矢量三角形）：

将 N₁、N₂ 和 G 首尾相接构成闭合三角形。N₁ 方向与竖直方向夹角为 θ，N₂ 水平向右。由几何关系：

• $\tan θ = \dfrac{N₂}{G}$ → $N₂ = G \tan θ$
• $\cos θ = \dfrac{G}{N₁}$ → $N₁ = \dfrac{G}{\cos θ}$

答案：$N₁ = \dfrac{G}{\cos θ}$（方向垂直斜面向上），$N₂ = G \tan θ$（方向水平向右）。

易错点： 误认为 N₁ 沿斜面方向，实际上 N₁ 总是垂直于接触面（指向球心）。另外，挡板的弹力方向垂直于挡板表面，这里挡板竖直，所以 N₂ 水平。