数学
9年级
中等
二次函数的图像与性质
从生活实例引入二次函数，通过图像直观理解开口、顶点、对称轴、增减性与最值，结合典型例题掌握图像性质的应用。
生活中的二次函数
想象一下你向上抛出一颗石子，它在空中的轨迹是一条平滑的曲线，这条曲线就是抛物线。在数学中，形如 $y = ax^2 + bx + c$（其中 $a \neq 0$）的函数叫做二次函数，它的图像就是一条抛物线。
核心知识点
1. 二次函数的标准形式
$y = a x^2 + b x + c$ （$a \neq 0$）
- $a$：决定开口方向和宽度。$a > 0$ 开口向上，$a < 0$ 开口向下。$|a|$ 越大，开口越窄。
- $b$：影响对称轴位置（与 $a$ 共同决定）。
- $c$：抛物线与 $y$ 轴交点的纵坐标，即 $(0,c)$。
2. 图像的重要元素
- 顶点：抛物线最高或最低点。顶点坐标公式：$\left(-\frac{b}{2a},\ \frac{4ac-b^2}{4a}\right)$。
- 对称轴：经过顶点且平行于 y 轴的直线 $x = -\frac{b}{2a}$。
- 与 $x$ 轴的交点：解方程 $ax^2+bx+c=0$，判别式 $\Delta = b^2-4ac$：
- $\Delta > 0$：两个不同的交点
- $\Delta = 0$：一个交点（顶点在 $x$ 轴上）
- $\Delta < 0$：没有交点
3. 图像性质一览表（结合图像理解）
增减性：
- $a>0$：在对称轴左侧 $y$ 随 $x$ 增大而减小，右侧增大而增大。
- $a<0$：在对称轴左侧 $y$ 随 $x$ 增大而增大，右侧增大而减小。
最值：$a>0$ 时，在顶点处取最小值 $\frac{4ac-b^2}{4a}$；$a<0$ 时，在顶点处取最大值。
典型例题
例1（基础） 已知二次函数 $y = 2x^2 - 4x + 1$。
(1) 求抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴。
(2) 当 $x$ 在什么范围内，$y$ 随 $x$ 增大而增大？
(3) 求函数的最小值。
(1) 求抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴。
(2) 当 $x$ 在什么范围内，$y$ 随 $x$ 增大而增大？
(3) 求函数的最小值。
解： $a=2>0$，开口向上。
对称轴 $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{4}=1$。
顶点纵坐标 $= \frac{4ac-b^2}{4a} = \frac{4\times2\times1 - (-4)^2}{8} = \frac{8-16}{8} = -1$。
顶点 $(1,-1)$。
因为 $a>0$，在对称轴右侧 $y$ 随 $x$ 增大而增大，即 $x>1$ 时。
最小值在顶点处取得，为 $-1$。
对称轴 $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{4}=1$。
顶点纵坐标 $= \frac{4ac-b^2}{4a} = \frac{4\times2\times1 - (-4)^2}{8} = \frac{8-16}{8} = -1$。
顶点 $(1,-1)$。
因为 $a>0$，在对称轴右侧 $y$ 随 $x$ 增大而增大，即 $x>1$ 时。
最小值在顶点处取得，为 $-1$。
例2（中等） 抛物线 $y = -x^2 + 2x + 3$ 与 $x$ 轴的交点坐标是多少？与 $y$ 轴的交点？并画出草图。
解： 与 $y$ 轴交点，令 $x=0$，得 $y=3$，即 $(0,3)$。
与 $x$ 轴交点，令 $y=0$，得 $-x^2+2x+3=0$，即 $x^2-2x-3=0$，$(x-3)(x+1)=0$，所以 $x_1=3, x_2=-1$。交点 $(-1,0)$ 和 $(3,0)$。
对称轴 $x = -\frac{2}{2\times(-1)} = 1$，顶点纵坐标 $= -1+2+3=4$，顶点 $(1,4)$。
因为 $a=-1<0$，开口向下，可画出草图。
与 $x$ 轴交点，令 $y=0$，得 $-x^2+2x+3=0$，即 $x^2-2x-3=0$，$(x-3)(x+1)=0$，所以 $x_1=3, x_2=-1$。交点 $(-1,0)$ 和 $(3,0)$。
对称轴 $x = -\frac{2}{2\times(-1)} = 1$，顶点纵坐标 $= -1+2+3=4$，顶点 $(1,4)$。
因为 $a=-1<0$，开口向下，可画出草图。
例3（拓展） 已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图像经过点 $(0,1)$，对称轴为 $x=2$，且与 $x$ 轴只有一个交点。求这个二次函数的解析式。
解： 由题意，$c=1$。对称轴 $x=-\frac{b}{2a}=2$，得 $b=-4a$。
与 $x$ 轴只有一个交点，所以 $\Delta = b^2-4ac = 0$。
代入 $b=-4a,\ c=1$：$(-4a)^2-4a\cdot1=0$，$16a^2-4a=0$，$4a(4a-1)=0$。
$a \neq 0$，所以 $a = \frac14$，则 $b = -4\times\frac14 = -1$。
解析式为 $y = \frac14 x^2 - x + 1$。
与 $x$ 轴只有一个交点，所以 $\Delta = b^2-4ac = 0$。
代入 $b=-4a,\ c=1$：$(-4a)^2-4a\cdot1=0$，$16a^2-4a=0$，$4a(4a-1)=0$。
$a \neq 0$，所以 $a = \frac14$，则 $b = -4\times\frac14 = -1$。
解析式为 $y = \frac14 x^2 - x + 1$。
常见误区
- 混淆对称轴公式符号：对称轴是 $x = -\frac{b}{2a}$，不要忘了负号。
- 忽略 $a$ 的符号对增减性的影响：一定要先判断开口方向再讨论增减性。
- 顶点坐标公式记错：顶点纵坐标是 $\frac{4ac-b^2}{4a}$，容易写成 $\frac{b^2-4ac}{4a}$。
学习建议
- 多画草图，从 $y=ax^2$ 开始，逐步变换系数，观察图像变化。
- 通过配方法将一般式化为顶点式 $y=a(x-h)^2+k$，更直观地读出顶点 $(h,k)$ 和对称轴。
- 与一元二次方程、一元二次不等式结合学习，加深理解。
知识链接
二次函数与一元二次方程密切相关——图像与 $x$ 轴的交点横坐标就是对应方程的解。同时，它也是后续学习二次不等式、函数最值应用（如利润问题）的基础。对比之前学过的一次函数，二次函数的图像不再是直线，性质更加丰富。
习题自测
- 二次函数 $y=3x^2-6x+5$ 的顶点坐标是______，对称轴是______。
- 抛物线 $y=-2x^2+4x-1$ 的开口向______，当 $x$ ______时，$y$ 随 $x$ 增大而增大。
- 已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过点 $(0,4)$，且顶点在 $x$ 轴上，对称轴为 $x=2$，求该抛物线的解析式。
答案：
1. 顶点 $(1,2)$，对称轴 $x=1$；
2. 向下，$x<1$；
3. $y = x^2 -4x +4$ （提示：由题意得 $c=4$，对称轴 $x=2$ 得 $b=-4a$，顶点在 $x$ 轴即 $\Delta=0$，解得 $a=1,b=-4$）。