位似——相似图形的特殊变换
位似是相似的一种特殊情况，对应点连线交于同一点（位似中心），且对应边平行。本节系统复习位似的定义、性质、作图以及和相似、中心对称、坐标变换的关联，并配有2-3道典型例题和图形解析。
1. 概念导入：从“缩放照片”说起
当我们用手机放大一张照片时，照片上每个点都相对于一个中心向外（或向内）移动，最终得到一张形状完全相同但大小不同的新照片。这种变换在数学中称为位似变换（homothety）。位似图形不仅是相似的，而且对应点的连线都经过同一点——位似中心。
2. 核心讲解：位似的定义与性质
定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线交于同一点，这样的相似叫做位似，这个交点叫做位似中心，相似比称为位似比（通常用 $k$ 表示）。
性质：① 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。② 对应边平行（或在同一直线上）。③ 位似中心可以在图形外部、内部、边上或顶点上。
3. 位似变换与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似中心为原点$O(0,0)$，将一个多边形各顶点坐标$(x,y)$分别乘以$k$或$-k$，就得到位似图形对应顶点的坐标：$(kx, ky)$（同向位似）或$(-kx, -ky)$（反向位似，相当于旋转180°+放大缩小）。
推广：若位似中心不在原点，则可通过平移转化为以原点为位似中心的问题。
4. 典型例题
例1（基础）：如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似，位似比为1:2。若AB=3，BC=4，CD=5，则A'B'+B'C'+C'D'=？
解答：位似比为1:2（原图:位似图），对应边成比例，所以A'B'=2AB=6，B'C'=2BC=8，C'D'=2CD=10，和为24。注意位似比定义顺序。
例2（中等）：在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点坐标A(1,2), B(-1,3), C(2,1)。以原点为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，求放大后三角形的顶点坐标。若位似中心改为点D(1,1)且k=2，如何求坐标？
解答：以原点为位似中心，放大2倍（k=2）得到A'(2,4), B'(-2,6), C'(4,2)。若位似中心D(1,1)，可先平移使D到原点，即向量$\overrightarrow{DO}=(-1,-1)$，各顶点坐标减(1,1)得A1(0,1),B1(-2,2),C1(1,0)。放大两倍得A1'(0,2),B1'(-4,4),C1'(2,0)。再平移回去加(1,1)得A'(1,3), B'(-3,5), C'(3,1)。
例3（综合）：如图，点E是正方形ABCD边CD上一点，连接AE，以A为位似中心将△ADE放大为原来的3倍得到△AD'E'，D'在AD延长线上，E'在AE延长线上。若正方形边长为4，DE=1，求△AD'E'的面积。
解答：△ADE与△AD'E'位似，位似比AD':AD=3:1。所以AD'=3×4=12，DE=1，则D'E'=3×1=3。在正方形中∠ADE=90°，位似后对应角相等，∠AD'E'=90°。面积=$\frac{1}{2} \times AD' \times D'E' = \frac{1}{2}\times 12 \times 3 = 18$。
5. 常见误区
- 位似比与相似比混淆：位似是相似的特殊情况，位似比等于相似比，但位似图形一定相似，相似图形不一定位似。
- 忽略对应点连线经过位似中心：判断两个多边形是否为位似，不能只看对应边平行，必须验证对应点连线是否交于一点。
- 位似中心位置判断错误：位似中心可以在图形外部、内部、边上，作图时需正确确定。
- 坐标变换时未考虑符号：反向位似（k为负数）时，坐标要乘负数，得到关于原点对称的图形。
- 面积比等于位似比的平方：位似图形的周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方。
6. 学习建议
- 多做位似作图练习，特别是位似中心在不同位置的情形。
- 将位似与旋转、平移、轴对称进行对比，注意位似是相似变换，而其他是全等变换。
- 掌握“位似中心→对应点”的连线比例关系，可以快速解决计算问题。
- 利用坐标系理解位似变换的量化公式，为高中学习伸缩变换打基础。
7. 知识链接
- 相似：位似是相似的子类，所有位似图形一定相似。
- 中心对称：当位似比k=-1时，位似中心就是对称中心，此时位似图形也是中心对称图形。
- 坐标变换：位似变换是仿射变换的一种，与平移、旋转、缩放结合可表示所有平面相似变换。
- 物理应用：小孔成像原理利用了位似，放大镜也是。
8. 习题自测
- 判断题：两个相似三角形一定是位似图形。（ ）
- 在平面直角坐标系中，以点P(1,2)为位似中心，将线段AB（A(2,2),B(3,4)）缩小为原来的$\frac{1}{2}$，求A、B对应点的坐标。
- 如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O。若OA:OD=2:3，△ABC的周长为12，面积为8，求△DEF的周长和面积。
答案：1. 错，相似三角形不一定位似，必须对应点连线交于一点。2. 先平移：A相对P的向量(1,0)，缩小一半得(0.5,0)，再加P得(1.5,2)；同样B相对P(2,2)，缩小得(1,1)，加P得(2,3)。所以A'(1.5,2), B'(2,3)。3. 位似比为2:3，所以周长比2:3，△DEF周长=12×(3/2)=18；面积比(2:3)^2=4:9，△DEF面积=8×(9/4)=18。