概率与统计（高考复习）
本讲系统复习概率与统计的核心概念，包括随机事件、古典概型、条件概率、随机变量及其分布、期望与方差，以及统计中的抽样、频率分布直方图、样本数字特征。通过直观图形和典型例题，帮助高三学生建立结构化的知识体系，突破易错点。
一、概率的基本概念
引入：天气预报常说“明天降雨概率为30%”——这个数字并不表示一定会下雨，而是描述一种可能性的大小。概率就是刻画随机事件发生可能性的数学量。
1. 随机现象与样本空间
在一定条件下，可能出现多种结果，但事先无法确定具体结果的现象称为随机现象。每次试验的所有可能结果构成的集合称为样本空间，记作 $\Omega$。例如抛一枚硬币，样本空间 $\Omega = \{ \text{正面}, \text{反面} \}$。
2. 古典概型
如果随机试验满足两个条件：① 样本空间只有有限个样本点；② 每个样本点发生的可能性相等，则称为古典概型。事件 $A$ 的概率为
$$P(A)=\frac{A\text{包含的样本点个数}}{\text{样本空间样本点总数}} = \frac{|A|}{|\Omega|}.$$
为了直观理解，我们看抛两次硬币的试验：
树状图清晰展示了所有等可能的结果（4种），从而事件“两次都是正面”的概率为 $\frac{1}{4}$。
3. 几何概型
当试验结果无限且等可能时，用几何概型。概率定义为 $P(A)=\frac{\text{区域A的测度（长度/面积/体积）}}{\text{总体区域测度}}$。例如，在区间 $[0,4]$ 上随机取一个数，落在 $[1,3]$ 的概率为 $\frac{3-1}{4-0}=\frac{1}{2}$。
4. 条件概率与独立性
已知事件 $B$ 发生的条件下，事件 $A$ 发生的概率称为条件概率：
$$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)},\quad P(B)>0.$$
如果 $P(AB)=P(A)P(B)$，则 $A$ 与 $B$ 相互独立。
二、随机变量及其分布
1. 离散型随机变量
取值可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量，其概率分布用分布列表示：$P(X=x_i)=p_i, i=1,2,\dots$，满足 $p_i\ge 0$ 且 $\sum p_i=1$。
重要数字特征：
- 数学期望（均值）：$E(X)=\sum x_i p_i$，反映随机变量取值的平均水平。
- 方差：$D(X)=E[(X-E(X))^2]=\sum (x_i-E(X))^2 p_i$，反映取值的离散程度。
2. 连续型随机变量与正态分布
取值充满某个区间的随机变量称为连续型随机变量，用概率密度函数 $f(x)$ 描述。最重要的连续型分布是正态分布，记作 $X \sim N(\mu,\sigma^2)$，密度函数为：
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\quad -\infty 其图像呈钟形，对称轴为 $x=\mu$，$\sigma$ 决定“胖瘦”。 特别地，标准正态分布 $N(0,1)$ 的分布函数值可查表。常用结论：$P(\mu-\sigma 常用的抽样方法有简单随机抽样（抽签法、随机数表法）、分层抽样（按比例分配）和系统抽样（等距抽样）。关键保证样本的代表性，避免偏差。 通过样本数据估计总体的分布和数字特征。 图中每个矩形面积 = 频率（组距 × 频率/组距），所有矩形面积之和等于1。 例题1（古典概型）：袋中有3个红球、2个白球，从中不放回地随机取出2个球，求取出的两个球颜色相同的概率。 思路：用古典概型，计算样本空间总数（组合数），再求有利事件数。 解答：总方法数 $C_5^2=10$。颜色相同分为全红或全白：全红 $C_3^2=3$，全白 $C_2^2=1$，共4种。概率 $P=\frac{4}{10}=0.4$。 易错警示：注意“不放回”与“放回”的区别，区分“有序”与“无序”。 例题2（条件概率）：某社区接种疫苗，已知65岁以上老人感染流感概率为0.02，接种疫苗后感染概率降至0.005。若老人接种率为60%，求一位感染流感的老人接种疫苗的概率。 思路：用贝叶斯公式。设事件A=“老人感染流感”，B=“老人接种疫苗”。已知 $P(A)=0.02$，$P(A|\bar{B})=0.02$？实际上需要重新定义。正确设：事件C=“感染”，V=“接种”。已知 $P(C|V)=0.005$，$P(C|\bar{V})=0.02$，$P(V)=0.6$。求 $P(V|C)$。 解答：由全概率公式 $P(C)=P(V)P(C|V)+P(\bar{V})P(C|\bar{V})=0.6\times0.005+0.4\times0.02=0.003+0.008=0.011$。则 $P(V|C)=\frac{P(V)P(C|V)}{P(C)}=\frac{0.6\times0.005}{0.011}=\frac{0.003}{0.011}\approx0.2727$。即约27.3%的感染者曾接种疫苗。 例题3（离散型随机变量的期望）：某射手每次射击命中目标的概率为 $p=0.8$，若连续射击直到命中为止，求射击次数 $X$ 的期望。 思路：$X$ 服从几何分布，$P(X=k)=(1-p)^{k-1}p, k=1,2,\dots$，期望 $E(X)=\frac{1}{p}$。 解答：$E(X)=\frac{1}{0.8}=1.25$。也可通过无穷级数求和验证：$E(X)=\sum_{k=1}^\infty k(0.2)^{k-1}\cdot0.8=1.25$。 答案：三、统计基础
1. 抽样方法
2. 用样本估计总体
四、典型例题
五、常见误区
六、学习建议
七、知识链接
八、习题自测