三位数乘两位数（困难版）

一、生活中引入

学校图书馆要为每个班级购买一批新书。一本《科学百科》定价 145 元，一共要买 24 本。总价是多少呢？
列出算式：145 × 24。

之前我们学过两位数乘两位数（比如 23×15），现在三位数乘两位数，方法其实很相似，只是位数更多了，需要更仔细地处理进位。

二、核心算理：分拆与合并

三位数 × 两位数，可以把两位数拆成 整十数 + 个位数，再利用乘法分配律计算：
$$145 \times 24 = 145 \times (20 + 4) = 145 \times 20 + 145 \times 4$$

先算 145×4 = 580（一次“三位数×一位数”），再算 145×20 = 2900（一次“三位数×整十数”，末尾添0），最后把两次结果相加：580 + 2900 = 3480。这就是竖式计算的道理。

三、竖式计算步骤（以 234 × 56 为例）

我们在竖式中用清晰的步骤来算，避免漏乘或错位。下面这个图展示了完整的竖式以及进位标记：

计算过程：
① 用个位 6 去乘 234：
 4×6=24，写4进2；3×6+2=20，写0进2；2×6+2=14，写4进1 → 得到 1404。
② 用十位 5 去乘 234：
 4×5=20，写0进2；3×5+2=17，写7进1；2×5+1=11，写1进1 → 得到 1170（注意个位不写，因为5在十位，结果末位对齐十位）。
③ 把 1404 和 1170 加起来（注意数位对齐）：
 个位：4；十位：0+0=0；百位：4+7=11，写1进1；千位：1+1+1=3；万位：1 → 最终 13104。

所以 234 × 56 = 13104。

四、典型例题（由易到难）

五、常见误区

• ⚠ 数位对不齐： 用十位乘时，积的末尾没有对齐十位，导致结果差10倍。
• ⚠ 忘记进位： 尤其是连续进位时，容易漏掉前面进的“1”。可以像图1那样在数字上方写小数字帮助记忆。
• ⚠ 末尾0处理： 因数末尾有0时，先算非零部分，别忘了补上所有0。也不能把0都去掉后相乘再只补一个0。
• ⚠ 验算习惯： 可以用交换因数位置再乘一遍（乘法交换律），或者用计算器验证，确保正确。

六、学习建议

1. 理解算理再背步骤。 想想为什么第二次乘的结果要往左移一位？因为第二个因数的十位代表几个十，所以结果要扩大10倍，也就是左移一位。
2. 日常口算训练。 每天做3-5道“三位数×一位数”的口算（如 128×4），为竖式计算打好基础。
3. 用好“估一估”。 先估算结果的大致范围，比如 234×56 大约 200×60=12000，实际结果13104，接近，说明计算可能正确。也可以用来排除明显的计算错误。

七、知识链接

三位数乘两位数是 乘法运算体系 的关键一步。前面学过的 两位数乘两位数 是它的基础，后面要学的 三位数乘三位数、乘法分配律的深入应用 以及 因式分解 都会用到类似的分拆思路。另外，学好这个内容也有助于理解 面积计算（长×宽）和 单价×数量 等生活应用。

八、习题自测

1. 124 × 32 = ? （先估一估，再用竖式计算）
2. 507 × 68 = ? （注意中间有0的乘法）
3. 380 × 50 = ? （用简便方法计算）

参考答案：
1. 124×32 = 3968（估算：120×30=3600，接近）
2. 507×68 = 34476（估算：500×70=35000，合理；注意507×8=4056，507×60=30420，相加34476）
3. 380×50 = 19000（先算38×5=190，再补两个0 → 19000）