复数（高三一轮复习）
从“数不够用”出发，引入虚数单位i，进而定义复数及其代数形式。掌握复平面、复数模、共轭等基本概念，熟练进行加减乘除四则运算，并能利用复数解决简单方程问题。本讲侧重基础，适合高三快速回顾。
1. 概念导入：为什么需要“新数”？
还记得一元二次方程 $x^2+1=0$ 吗？在实数范围里它没有解，因为没有任何实数的平方等于 $-1$。但数学不满足于此——为了让我们能够“描述”这样的方程的解，数学家引入了虚数单位 $i$，规定
$i^2 = -1$
于是方程 $x^2+1=0$ 的解就是 $x = \pm i$。把实数和虚数组合在一起，就诞生了复数。
2. 核心讲解：复数的定义与表示
2.1 复数的代数形式
复数的一般形式为：
$z = a + bi$（其中 $a, b \in \mathbb{R}$，$i$ 是虚数单位）
- $a$ 称为实部，记作 $\operatorname{Re}(z)$；
- $b$ 称为虚部，记作 $\operatorname{Im}(z)$（注意：虚部是 $b$，不是 $bi$）；
- 当 $b=0$ 时，$z$ 是实数；当 $a=0$ 且 $b\neq 0$ 时，$z$ 是纯虚数。
2.2 复数的几何表示——复平面
每个复数 $z=a+bi$ 都可以对应平面直角坐标系中的一个点 $(a,b)$。这个坐标系叫做复平面，横轴是实轴，纵轴是虚轴。
2.3 复数的模与共轭
- 模（绝对值）：$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$，即复平面上点到原点的距离。
- 共轭复数：$\bar{z} = a - bi$，关于实轴对称。
例如 $z=3+2i$，则 $|z|=\sqrt{13}$，$\bar{z}=3-2i$。
2.4 复数相等
两个复数 $a+bi$ 和 $c+di$ 相等的充要条件是 $a=c$ 且 $b=d$（实部和虚部分别相等）。
3. 复数的四则运算
3.1 加减法（实部、虚部分别相加减）
$(a+bi) \pm (c+di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$
几何意义：平行四边形法则（向量加减法）。
3.2 乘法
$(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac-bd) + (ad+bc)i$
注意 $i^2=-1$ 的出现。
3.3 除法（分母实数化）
$$\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$$
核心：乘以分母的共轭复数，将分母化为实数。
4. 典型例题
例1（基础） 已知复数 $z=(x-2)+ (x+1)i$ 为纯虚数，求实数 $x$ 的值。
解： 纯虚数满足实部为0且虚部不为0。
实部：$x-2=0 \Rightarrow x=2$；此时虚部 $2+1=3 \neq 0$，满足。
故 $x=2$。
例2（运算） 计算 $(1+2i) \cdot (3-i) + \frac{2+i}{1-i}$。
解： 先算乘法：$(1+2i)(3-i) = 3 - i + 6i -2i^2 = 3+5i+2=5+5i$。
再算除法：$\frac{2+i}{1-i} = \frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{2+2i+i+i^2}{1-i^2} = \frac{2+3i-1}{1+1} = \frac{1+3i}{2} = \frac12 + \frac32 i$。
相加：$(5+5i) + (\frac12+\frac32 i) = \frac{11}{2} + \frac{13}{2} i$。
易错：$i^2=-1$ 别忘变号；除法分母有理化要乘共轭。
例3（模与方程） 若 $|z-1+2i| = 3$，且 $z$ 是纯虚数，求 $z$。
解： 设 $z=bi\;(b\in\mathbb{R})$。代入 $|bi-1+2i| = | -1 + (b+2)i | = \sqrt{(-1)^2 + (b+2)^2}$。
由条件 $\sqrt{1+(b+2)^2}=3$，平方得 $1+(b+2)^2=9$，$(b+2)^2=8$，$b+2=\pm2\sqrt{2}$。
所以 $b = -2 \pm 2\sqrt{2}$，故 $z = (-2\pm 2\sqrt{2})i$。
5. 常见误区
- 误将虚部当作 $bi$： 虚部是实数 $b$ 而不是 $bi$，例如 $3+4i$ 的虚部是 $4$ 而不是 $4i$。
- 除法忘记乘共轭： 分母中含有虚数时，必须乘以分母的共轭以消去虚部。
- 比较大小陷阱： 复数只有相等或不相等，不能比较大小（除非两个都是实数）。
- 模的计算： $|a+bi| = \sqrt{a^2+b^2}$，注意是平方和再开方，不是 $a^2+b^2$。
6. 学习建议
- 把复数当作“二维实数”来处理——实部虚部各算各的。
- 多做纯计算题，熟记 $i^2=-1$ 以及 $(1\pm i)^2 = \pm 2i$ 等常用结果。
- 图形结合：在复平面上多画点，理解模和共轭的几何意义。
7. 知识链接
- 向量： 复数的加减对应向量加减，模对应向量的长度。
- 一元二次方程： 判别式 $\Delta<0$ 时，复数解成对出现（共轭）。
- 极坐标/三角形式： 后续会学到，为复数乘除和开方提供几何捷径。
8. 习题自测
- 若 $(x+y)+ (2x-y)i = 3 - i$，求实数 $x, y$ 的值。
- 计算 $(2-i)(1+3i) - \frac{4+3i}{i}$。
- 已知 $|z-2| = 1$，且 $\overline{z} = z$，求复数 $z$。
参考答案：
1. 由相等条件：$\begin{cases} x+y=3 \\ 2x-y=-1 \end{cases}$ 解得 $x=\frac{2}{3},y=\frac{7}{3}$。
2. 原式 $= (2+6i -i -3i^2) - \frac{(4+3i)(-i)}{i\cdot(-i)} = (2+5i+3) - \frac{-4i-3i^2}{1} = 5+5i - (-4i+3) = 5+5i +4i-3 = 2+9i$。
3. $\overline{z}=z$ 说明 $z$ 是实数，设 $z=x\in\mathbb{R}$，则 $|x-2|=1$，$x-2=\pm1$，得 $x=3$ 或 $x=1$，故 $z=3$ 或 $z=1$。