函数的应用
学习如何将实际问题转化为函数模型，利用一次函数、二次函数、分段函数等工具解决最优化、增长预测等问题。掌握建模步骤与常见误区，提升数学应用能力。
概念导入：从生活问题到函数模型
同学们，你们在用手机选择话费套餐时，通常会比较不同套餐的月租和每分钟通话费用；家里每个月的水电费也会根据用量阶梯计价；甚至你在投篮时，篮球飞行的轨迹也近似一条抛物线。这些实际问题的背后都隐藏着一个共同的数学工具——函数。通过建立适当的函数模型，我们可以定量地分析变化规律、找到最优方案，这就是今天要学习的《函数的应用》。
核心讲解：建立函数模型的四个步骤
- 审题：明确问题中的已知量和未知量，找出数量关系。
- 设变量：用字母表示自变量和因变量，并确定自变量的取值范围（定义域）。
- 列函数：根据等量关系写出函数解析式。
- 求解与验证：利用函数性质（单调性、最值等）解决问题，并检查结果是否符合实际。
典型应用一：一次函数模型（线性增长）
例如，某出租车公司收费标准：起步价8元（含3公里），以后每公里1.5元。设行驶里程为x公里（x≥0），车费为y元。当x≤3时，y=8；当x>3时，y=8+1.5(x-3)=1.5x+3.5。这是一个分段函数，但每段内都是一次函数。
我们以3公里为界，画出图像：
典型应用二：二次函数模型（最值问题）
某商品进价每件20元，当售价为30元时，每月可卖出400件。市场调查发现，每涨价1元，月销量减少20件。求每月利润最大时的售价。
设售价为x元（x≥20），则每件利润为(x-20)元，销量为400-20(x-30)=400-20x+600=1000-20x（件）。月利润为：
$$y = (x-20)(1000-20x) = -20x^2 + 1400x - 20000$$
这是一个开口向下的二次函数，定义域为x≥20且1000-20x≥0 ⇒ 20≤x≤50。顶点横坐标x=-b/(2a)=1400/(40)=35，此时最大利润y_max = -20·35²+1400·35-20000=4500元。
典型应用三：分段函数模型
比如阶梯电价：月用电量不超过100度时，每度0.5元；超过100度但不超过200度时，超过部分每度0.6元；超过200度时，超过部分每度0.8元。请写出电费y与用电量x的函数关系式。
当0≤x≤100时，y=0.5x；当100
典型例题
例1（基础）
某超市销售一种牛奶，每盒进价3元。售价4元时，每天可卖500盒；售价每提高0.2元，日销量减少20盒。求日利润最大时的售价（精确到0.1元）。
思路：设售价为x元，则每盒利润(x-3)，销量变化：提高( (x-4)/0.2 )个0.2元，销量减少20×(x-4)/0.2 = 100(x-4)盒。故销量=500-100(x-4)=900-100x盒。
利润y=(x-3)(900-100x) = -100x²+1200x-2700。
定义域：x≥4且900-100x≥0 ⇒ x≤9。
顶点横坐标x=-1200/(2*(-100))=6，在[4,9]内，最大利润y(6)= -100×36+1200×6-2700=900元。
答：售价6元时日利润最大，为900元。
例2（综合）
某公司每月固定成本1万元，每件产品可变成本10元。产品售价与销量关系：当销量不超过500件时，售价50元/件；当销量超过500件时，每多销1件，所有产品售价降低0.05元（即销量每增加1件，单价减少0.05元）。求公司月利润最大时的销量。
思路：设月销量为x件（x≥0）。
- 若0≤x≤500，售价50元，收入50x，成本10000+10x，利润y=50x-10x-10000=40x-10000。单调递增，x=500时利润=40×500-10000=10000元。
- 若x>500，售价=50-0.05(x-500)=50-0.05x+25=75-0.05x。收入=x(75-0.05x)=75x-0.05x²，成本同前，利润y=75x-0.05x²-10x-10000= -0.05x²+65x-10000。定义域x>500。
二次函数y=-0.05x²+65x-10000，顶点横坐标x=-65/(2*(-0.05))=650。检查是否在定义域：650>500，可用。计算利润：y(650)= -0.05×650²+65×650-10000 = -21125+42250-10000=11125元。比较两段：x=500时利润10000元，x=650时利润11125元，更大。故取x=650件时利润最大，为11125元。
例3（拓展）
某实验室培养细菌，初始有100个，每小时数量增加为原来的1.8倍。试写出t小时后细菌数量y(t)的表达式，并问经过多少小时可达到1000个？（结果保留整数）
思路：这是指数增长模型，y(t)=100×1.8^t。令100×1.8^t=1000 ⇒ 1.8^t=10 ⇒ t=log_{1.8}10 = ln10/ln1.8。计算：ln10≈2.3026，ln1.8≈0.5878，t≈2.3026/0.5878≈3.92。所以约4小时后达到1000个。
常见误区
- 忽略定义域：实际问题中自变量往往有范围限制，如销量不能为负，时间不能为负等，解题时务必先确定定义域。
- 单位不统一：如时间用小时，速度用米/秒，需要转化。
- 模型选择错误：如把线性增长当成指数增长，或把递减关系误用为递增函数。
- 忽视分段点连续性：分段函数在分界点处要检查是否连续，有时题目要求分段点处取整或特殊处理。
学习建议
- 多画图：函数图像能直观反映变化趋势（单调性、最值点），是解题的得力助手。
- 养成设变量→列关系→化简→求定义域的习惯：规范化步骤能减少错误。
- 对比不同模型：整理一次、二次、指数、对数、幂函数等模型的典型应用场景，建立模型库。
- 验算：得到结果后代入原实际背景检验是否合理（如利润不能为负，销量应为整数等）。
知识链接
- 与方程的联系：函数零点、交点对应方程的解。
- 与不等式的联系：函数单调性可辅助解不等式（如ax+b>0）。
- 与数列的联系：离散型函数常对应等差数列或等比数列。
- 与导数的联系（高二将学）：导数可更精确地求解非线性最值问题。
习题自测
- 某公司生产一种产品，固定成本为2000元，每件产品可变成本为8元。若产品售价为15元，请写出利润y与销售量x的关系式，并求至少销售多少件才能盈利？
- 用长度为36m的篱笆围成一个矩形养鸡场，一边靠墙（墙足够长）。怎样围使面积最大？最大面积是多少？
- 某地人口数量（单位：万人）与年份t（t=0对应2020年）的关系为P=50×1.02^t。求经过多少年人口翻一番？（结果保留整数，lg2≈0.3010，lg1.02≈0.0086）
参考答案
- y=(15-8)x-2000=7x-2000，令7x-2000>0 ⇒ x>2000/7≈285.7，所以至少销售286件。
- 设长为x（平行于墙），宽为y，则x+2y=36，面积S=xy=(36-2y)y=-2y²+36y，顶点y=9，x=18，最大面积S=162m²。
- 令50×1.02^t=100 ⇒ 1.02^t=2 ⇒ t=lg2/lg1.02≈0.3010/0.0086≈35年。