优化策略——让时间更高效
在生活中，我们经常需要安排事情，比如起床后先做什么后做什么，怎样才能更省时？这节课我们就来学习一种数学思考方法——优化策略。通过“沏茶问题”“烙饼问题”等趣味例子，学会用画流程图、列表比较的方法，找到最省时间或最省钱的方案。
一、概念导入：从早晨的安排说起
同学们，每天早晨你起床后需要做这些事情：洗脸（3分钟）、刷牙（2分钟）、烧开水（10分钟）、准备早餐（4分钟）、吃早餐（5分钟）。如果一件一件地做，一共要花 3+2+10+4+5=24分钟。但你想过没有，有些事可以同时做，比如烧开水的时候你可以洗脸、刷牙、准备早餐。如果合理安排，可能只需要15分钟就能出门！这就是我们要学习的 优化策略。
二、核心讲解：什么是优化策略？
优化策略就是在 有限的时间、资源下，通过合理安排顺序、同时进行、优先做关键步骤等方法，找到最省时、最省钱的方案。它有三个法宝：
- 能同时做的事情尽量同时做（比如烧水的同时准备材料）
- 不能同时做的事要排好先后顺序（比如必须先洗手再吃饭）
- 有时要“等一等”再开始（比如烙饼时先放一半，等半熟再翻面）
今天我们用两个经典问题来掌握它：沏茶问题 和 烙饼问题。
2.1 沏茶问题——同时做，省时间
妈妈要沏茶招待客人，她需要做这些事：洗水壶（1分钟）、烧水（8分钟）、洗茶杯（2分钟）、找茶叶（1分钟）、沏茶（1分钟）。怎样安排最省时间？
关键分析：洗水壶必须在烧水之前，因为烧水时才能做其他事。流程图可以清楚地显示顺序和并行。
从图中看出：洗水壶（1分钟）→ 烧水（8分钟，同时洗茶杯、找茶叶）→ 沏茶（1分钟），总共只需要 10分钟，比分开做节省了 （1+2+1）=4分钟。
2.2 烙饼问题——充分利用锅
一个平底锅每次最多烙两张饼，两面都要烙，每面要烙3分钟。要烙3张饼，最少需要几分钟？
- 常规想法：先烙两张正面（3分钟），再烙两张反面（3分钟），共6分钟，剩下那张单独烙正面（3分钟）和反面（3分钟），又是6分钟，总共12分钟。
- 优化策略：锅可以同时放两张饼，我们这样安排：
第一分钟到第三分钟：烙饼1正面和饼2正面；
第四分钟到第六分钟：翻面，烙饼1反面和饼3正面（此时饼2已经熟了正面，反面还没烙）；
第七分钟到第九分钟：烙饼2反面和饼3反面。
总共只用9分钟！
三、典型例题
例1（易）：丽丽起床后要做这些事：穿衣（5分钟）、刷牙（3分钟）、洗脸（2分钟）、热牛奶（4分钟）、吃早饭（8分钟）。怎样安排最省时间？最少需要多少分钟？
思路：穿衣是必须最先做的，热牛奶时可以做其他事。建议顺序：穿衣（5分钟）→同时热牛奶（4分钟，并在此过程中刷牙、洗脸）→吃早饭（8分钟）。
计算：5 + (热牛奶同时做刷牙洗脸) + 8 = 5+4+8=17分钟？不对，因为刷牙洗脸共5分钟，而热牛奶只有4分钟，所以刷牙洗脸不能在热牛奶时全部做完，需要稍微调整：可以在热牛奶的同时做刷牙（3分钟），然后洗脸（2分钟）可能占用热牛奶后的1分钟，但更优的是先做刷牙（2分钟）和洗脸（3分钟）交换顺序？实际上，我们画图分析：
正确安排：穿衣（5分钟）→ 热牛奶开始的4分钟内，先刷牙（3分钟），然后立即洗脸（2分钟），这样洗脸的最后1分钟与热牛奶重叠不了。但我们可以让洗脸提前到热牛奶开始前？不行，因为穿衣后必须立刻热牛奶？其实没有约束。更好的方案：穿衣（5分钟）→ 同时做热牛奶（4分钟）和刷牙（3分钟）→ 热牛奶结束后，再洗脸（2分钟）同时可以做其他？吃早饭必须等所有准备完成。所以总时间为：5 + max(4,3) + 2 + 8 = 5+4+2+8=19分钟。但如果我们调整顺序：穿衣后先刷牙洗脸（共5分钟），同时在穿衣时就开始热牛奶？穿衣时不能热牛奶，因为穿衣时手没空。只好穿衣后做。
更好的优化：穿衣（5分钟）→ 在穿衣的同时热牛奶？这里必须手动操作，所以不能同时。因此最省方案是：热牛奶（4分钟）可以与刷牙（3分钟）部分重叠，然后洗脸（2分钟）在热牛奶结束后做，同时准备吃早饭？吃早饭只需开始。最终可省去重叠的3分钟，总时间 = 5 + 4 + (3-3? 刷牙重叠) + 2 + 8 = 5+4+2+8=19分钟？不对，我们重新计算：
最优安排：穿衣5分钟→ 热牛奶4分钟（同时刷牙3分钟，节省3分钟）→ 1分钟后热牛奶结束，开始洗脸2分钟→ 洗脸结束，开始吃早饭8分钟。总时间 = 5 + 4 + 2 + 8 = 19分钟。如果我们先刷牙洗脸再热牛奶：5 + 3 + 2 + 4 + 8 = 22分钟。所以19分钟是最佳。
答案：最少需要19分钟。
例2（中）：一个平底锅每次最多烙4张饼，每面烙4分钟。现在要烙6张饼，最少需要多少分钟？
思路：充分利用锅。每次最多4张，每张两面。最优策略：先烙4张正面（4分钟），再烙这4张反面（4分钟），完成4张；剩下的2张，每次只能烙2张，正面（4分钟），反面（4分钟）。总时间 = 4+4+4+4=16分钟。但我们可以更优化吗？锅最多4张，但剩2张时只能放2张。没有并行空间。所以最小16分钟。
但注意，可考虑让剩下2张与前三张交错？例如：第一锅放4张正面（4分钟），第二锅放2张反面（它们的第一锅正面已熟）和另外2张正面（未烙的）。但这样会打破连续性。更优：第一锅：饼1、2、3、4正面；第二锅：饼1、2反面 和饼5、6正面；第三锅：饼3、4反面 和饼5、6反面。时间：4+4+4=12分钟！检查：饼1、2反面在第二锅，饼3、4反面在第三锅，饼5、6正反面在二、三锅。所有饼都两面烙过。所以只需要12分钟。
答案：最少需要12分钟。
例3（较难）：田忌赛马的故事中，田忌用下等马对齐王的上等马，用上等马对齐王的中等马，用中等马对齐王的下等马，最终三局两胜赢了齐王。如果田忌的马按实力排序为：上等>中等>下等，而齐王的马也是上等>中等>下等，但田忌每一等级的马都比齐王同等级的马慢一些。请问田忌对阵时为什么要用这种安排？
分析：如果田忌用上等马对齐王上等马，必输；中等对中等，也输；下等对下等，也输，就是0:3。但田忌用下等马对齐王上等马（输），上等马对齐王中等马（赢），中等马对齐王下等马（赢），结果2:1获胜。这说明在某些情况下，牺牲一场来换取全局胜利也是一种优化策略。
数学原理：在总实力不如对方时，通过错位搭配，以局部损失换取整体利益。这实际上是一种“博弈论”中的最优策略。
四、常见误区
- 误区1：认为所有事情都可以同时做。 注意，必须是人或机器可以并行操作才行。比如一个人不能同时刷牙和洗脸，但烧水时人可以去做其他事。
- 误区2：烙饼问题中忽略每张饼两面都需要烙。 要记住每一张饼有两面，不能只烙一面。
- 误区3：先做用时最长的事情。 有时先做用时短的反而可以穿插。应该找出哪些事有依赖关系，优先安排不可并行的事。
五、学习建议
- 画流程图：把要做的事情写在方框里，用箭头表示顺序，用并列表示同时。
- 列表比较：如果做相同的几件事，不同的顺序会花不同的时间，可以列表计算。
- 敢于尝试：优化策略往往需要多动脑筋，不要只满足于第一种方案。
- 联系生活：想想你每天上学、做作业、运动时，哪些地方可以用优化策略提高效率。
六、知识链接
优化策略涉及多个数学知识：
- 时间计算：要能计算和比较不同方案的时间总和。
- 有序思考：按顺序完成的事情不能颠倒。
- 统筹思想：这是运筹学的雏形，与高年级的线性规划有关。
- 对策论：田忌赛马是对策论的基础，与决策有关。
七、习题自测
- 小刚放学后要做：写作业（20分钟）、听英语（15分钟）、帮忙洗碗（10分钟）、打乒乓球（30分钟）。如果他想最短时间完成，应该怎样安排？最少需要多少分钟？
- 一个平底锅同时最多烤3片面包，每片面包每面烤3分钟。要烤5片面包，最少需要多少分钟？
- 红队和蓝队进行三局两胜制的拔河比赛，两队实力对比如下（强>中>弱）：红队：强、中、弱；蓝队：强、中、弱，但蓝队每个级别都比红队同级别强一点。蓝队应该怎样安排出场顺序才能获胜？
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- 可以先写作业（20分钟）的同时听英语（15分钟完全重叠），然后打乒乓球（30分钟）的同时洗碗？打乒乓球不能同时洗碗，所以分开。最好安排：写作业（20分钟，同时听英语）→ 打乒乓球（30分钟） → 洗碗（10分钟）。或者先洗碗再写作业？但写作业耗时最长，可以先做。总时间 = 20 + 30 + 10 = 60分钟（因为听英语完全重叠）。
- 最优方案：前两个三分钟烤3片正面，接着三分钟烤2片反面+1片新正面，最后三分钟烤剩下的两片反面和已经翻过的一面？更详细：设面包ABCDE。第一锅：A正B正C正（3分）；第二锅：A反B反D正（3分）；第三锅：C反D反E正（3分）；第四锅：E反 + 空位？但E反面还需3分，所以还需要一锅，总共12分钟。但可以优化：第一锅：A正B正C正；第二锅：A反B反D正；第三锅：C反D反E正；第四锅：E反（单独一面）。这样总共12分钟。但锅最多放3片，第四锅只放一片，浪费资源。有没有可能12分钟内完成？有人优化出12分钟。所以最少12分钟？检查：4锅×3分钟=12分钟。另一种安排：第一锅：A正B正C正；第二锅：A反B反D正；第三锅：C反E正E反？不能同时放E正反。所以12分钟是合理的答案。
- 蓝队弱对红队强（输），蓝队强对红队中（赢），蓝队中对红队弱（赢），2:1获胜。