四年级数学：行程问题（进阶）
行程问题研究速度、时间、路程之间的关系。本讲从常见的生活场景出发，通过画线段图的方法，详细讲解相遇问题和追及问题的核心思路与计算方法，帮助同学们建立清晰的模型思维，能够解决较复杂的行程问题。
一、概念导入：从赛跑中的“相遇”说起
同学们，你们一定看过赛跑吧？有时两个人从不同的地方同时起跑，跑到终点相遇；有时一个人跑得快，另一个人慢，快的从后面追上来。这些运动中都藏着一个重要的数学知识——行程问题！
今天我们就来学习如何用数学方法解决“两人走路”或“车辆行驶”的问题。你只需要记住三个好朋友：速度、时间、路程，它们的关系就像一家人：
路程 ＝ 速度 × 时间
这个公式你一定不陌生，今天我们要用这个公式来解决两个人同时运动的更复杂的情况。
二、核心讲解：两种最常见的情形
1. 相遇问题 —— 两人面对面走
两人从不同的地方同时出发，相向而行，在途中某处相遇。此时他们走的总路程就是两地之间的全部距离。因为他们是同时出发、同时相遇，所以所用的时间相同。
关键思路：总路程 ＝ (甲速度 + 乙速度) × 相遇时间
这个公式是怎么来的？我们画一幅图就清楚了👇
从图1能清楚地看到：A到C的距离是甲走的路程，C到B的距离是乙走的路程，把两段合起来就是A、B之间的总路程。因为时间t相同，所以总路程 = (甲的速度 + 乙的速度) × t。
2. 追及问题 —— 一人快、一人慢，同方向走
如果两人从同一个方向出发（比如小明和小红从学校一起去公园），小明走得快，小红走得慢，小明会在后面追上小红。这种情况叫追及问题。关键思路：
路程差（初始距离） ＝ (快速度 — 慢速度) × 追及时间
同样，我们用图来理解👇
从图2可以看出：快者需要走的路程比慢者多出一开始的距离差。如果追上了，快者走的路程减去慢者走的路程正好等于这个距离差。速度差就是快者每分钟比慢者多走的长度。
三、典型例题
例1（相遇问题）：甲乙两地相距480千米。一辆客车和一辆货车同时从两地出发，相向而行。客车每小时行60千米，货车每小时行40千米。问：几小时后两车相遇？
思路：他们相向而行，每小时共走 60+40=100 千米。总路程480千米需要几个这样的100千米？
解答：速度和 = 60 + 40 = 100（千米/时）
相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和 = 480 ÷ 100 = 4.8（小时）
易错提示： 不要忘记先求速度和，也不能直接用480÷60或480÷40。
例2（追及问题）：小明和小红从学校出发去图书馆。小明每分钟走80米，小红每分钟走60米。小红先出发10分钟后，小明才出发。问小明出发后几分钟追上小红？
思路：小红先走了10分钟，已经走出了 60×10=600 米，这就是两人之间的初始路程差。小明每分钟比小红多走 80−60=20米，他需要补上这600米。
解答：路程差 = 60 × 10 = 600（米）
速度差 = 80 − 60 = 20（米/分）
追及时间 = 600 ÷ 20 = 30（分钟）
易错提示： 注意初始距离是慢者先走的那段路，不要忘记乘时间。
例3（综合 — 反向与同向）：甲、乙两人在一条400米的环形跑道上跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米。他们从同一点同时出发：
（1）如果反向跑，几秒后第一次相遇？
（2）如果同向跑，几秒后甲第一次追上乙？
思路：反向跑是相遇问题，总路程等于一圈的长度；同向跑是追及问题，路程差也等于一圈的长度。
解答：
（1）速度和 = 5 + 4 = 9（米/秒）
第一次相遇时间 = 400 ÷ 9 ≈ 44.44（秒）
（2）速度差 = 5 − 4 = 1（米/秒）
第一次追上时间 = 400 ÷ 1 = 400（秒）
易错提示： 同向追及时，路程差就是跑道周长，不要错用速度和。
四、常见误区
- 单位不统一：例如速度用“米/秒”，时间用“分钟”，一定要先换算成一致的单位（通常换算成米/分或千米/时）。
- 混淆“速度和”与“速度差”：相遇用加法，追及用减法，记牢。
- 忽略“同时出发”：如果一个人先出发一部分时间，必须先把那段时间走的路程算作初始差距。
五、学习建议
1. 画线段图是万能钥匙：不管多难的题，先画一条线标出两地、两人、方向，把已知数据标在图上，问题就清晰了。
2. 记住公式的同时理解为什么：不要死记“路程=速度×时间”，要想想它是怎么来的。
3. 多练多总结：每次做完一道题，可以想一想它是哪种类型（相遇还是追及），用了哪个公式。
六、知识链接
行程问题与之前学过的乘法（速度×时间=路程）、除法（路程÷速度=时间）紧密相关。以后你还会学到比例和方程，用它们来解决更加复杂的行程问题（比如流水行船、火车过桥）。
七、习题自测
- 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲车每小时行65千米，乙车每小时行55千米，经过3小时相遇。问A、B两地相距多少千米？
- 小东和小西从学校同时出发去少年宫，小东每分钟走75米，小西每分钟走60米。10分钟后小东到达少年宫，原路返回，几分钟后与小西相遇？（提示：画图找小东返回时的路程和）
- 猫追老鼠，猫每分钟跑200米，老鼠每分钟跑140米，老鼠先跑4分钟后猫才出发。猫多久能追上老鼠？
参考答案：
1. 速度和=120千米/时，路程=120×3=360千米。
2. 学校到少年宫距离=75×10=750米。小东返回时与小西相向而行，此时小西已走60×10=600米，两人相距750−600=150米。速度和=135米/分，相遇时间=150÷135≈1.11分钟。
3. 路程差=140×4=560米，速度差=60米/分，追及时间=560÷60≈9.33分钟。