位似——从影子到数学的放大与缩小
从手影游戏和投影仪引入，用生活化的语言讲解位似图形、位似中心和位似比的概念。通过三个精心设计的图形和由易到难的例题，帮助九年级学生直观理解位似变换的本质，掌握在坐标系中画位似图形的方法。
📌 概念导入：从“影子”说起
你有没有在墙前用手电筒玩过手影游戏？手离灯光越近，墙上的影子就越大；手离灯光越远，影子就越小。你还会发现：手的形状和影子的形状完全一样，只是大小不同，而且它们之间好像有一个“放射中心”——那就是手电筒的灯泡位置。
再比如，数学课上老师用投影仪展示一道题：投影仪上的小胶片和屏幕上放大的图像，形状完全一样，只是大小不同。所有光线都从投影仪的镜头（一个点）向外发散，把胶片上的图形“投射”到屏幕上。
👆 这些现象背后，藏着我们今天要学的数学概念——位似。
📖 核心讲解：什么是位似？
1. 位似图形的定义
位似图形是指两个图形不仅相似（形状相同），而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，这个点叫做位似中心。对应的图形叫做位似图形，它们之间的关系叫做位似变换。
① 形状相同（相似）；
② 大小不同（放大或缩小）；
③ 所有对应点的连线都交于同一个点（位似中心）。
满足这三个条件，就是“位似”。
2. 位似比
在位似图形中，对应点到位似中心的距离之比，叫做位似比（也叫相似比）。
用数学式子表示：如果点 $A$ 和点 $A'$ 是对应点，位似中心为 $O$，那么位似比 $k = \dfrac{OA'}{OA}$。
- 如果 $k > 1$，图形被放大；
- 如果 $0 < k < 1$，图形被缩小；
- 如果 $k = 1$，图形和原来一样大（此时位似图形与原来图形重合）。
🎨 图形辅助：外位似与内位似
情况一：位似中心在图形外部（外位似）
这是最常见的情况。位似中心在图形的外面，两个位似图形位于位似中心的同一侧或两侧。
观察上图，你会发现：
- 点 $O$、$A$、$A'$ 三点在同一条直线上；
- 点 $O$、$B$、$B'$ 三点也在同一条直线上；
- 点 $O$、$C$、$C'$ 也一样。
- 对应边 $AB$ 与 $A'B'$ 互相平行，$BC$ 与 $B'C'$ 也互相平行。
- $ riangle ABC \sim \triangle A'B'C'$，且相似比等于位似比 $k = 2$。
情况二：位似中心在图形内部（内位似）
位似中心也可以位于图形的内部，这样放大后的图形会把原来的图形“包”在里面。
📍 坐标系中的位似
在平面直角坐标系中，如果以原点 O 为位似中心画一个图形的位似图形，有一个非常简单的规律：
如果原图形上有一点 $P(x, y)$，以原点为位似中心，位似比为 $k$，那么：
- 放大（$k > 1$）：对应点 $P'(kx, ky)$
- 缩小（$0 < k < 1$）：对应点 $P'(kx, ky)$
- 关于原点反向（$k < 0$）：对应点 $P'(kx, ky)$，此时图形不仅放大/缩小，还会旋转 180°
简单记忆：“每个坐标都乘以位似比”——横纵坐标同时乘以 $k$ 就得到对应点的坐标。
看上面的图，是不是一目了然？原三角形 $\triangle ABC$ 的三个顶点坐标分别为 $A(1,1)$、$B(2,1)$、$C(1.5,2.5)$，以原点为位似中心放大 2 倍后，对应点坐标变为：
- $A'(2×1, 2×1) = (2,2)$
- $B'(2×2, 2×1) = (4,2)$
- $C'(2×1.5, 2×2.5) = (3,5)$
📝 典型例题
例题 1（基础题）
已知四边形 $ABCD$ 和四边形 $A'B'C'D'$ 关于点 $O$ 位似，位似比为 $k = \dfrac{1}{2}$。如果 $AB = 8\text{cm}$，求 $A'B'$ 的长度。
位似比 $k = \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{1}{2}$
所以 $A'B' = k \times AB = \dfrac{1}{2} \times 8 = 4\text{cm}$。
✅ 答案： $A'B' = 4\text{cm}$。
💡 小提示：位似比就是对应边长的比值，放大时 k>1，缩小时 0
例题 2（坐标题）
在平面直角坐标系中，点 $A(3, -6)$ 以原点 $O$ 为位似中心，位似比为 $k = \dfrac{2}{3}$，求对应点 $A'$ 的坐标。
以原点为位似中心，位似比为 $k$，对应点坐标就是原坐标乘以 $k$。
$x' = k \times x = \dfrac{2}{3} \times 3 = 2$
$y' = k \times y = \dfrac{2}{3} \times (-6) = -4$
所以 $A'(2, -4)$。
✅ 答案： $A'(2, -4)$。
💡 注意：位似比小于 1，图形缩小，但计算方法不变——每个坐标都乘以 k。
例题 3（综合题）
如图，已知 $\triangle ABC$ 三个顶点坐标分别为 $A(-2,0)$、$B(0,4)$、$C(2,2)$。以原点 $O$ 为位似中心，将三角形放大到原来的 1.5 倍，画出位似图形 $\triangle A'B'C'$，并写出各顶点坐标。
位似比 $k = 1.5 = \dfrac{3}{2}$，对应点坐标 = 原坐标 × 1.5。
$A'\left(-2 \times 1.5, 0 \times 1.5\right) = A'(-3, 0)$
$B'\left(0 \times 1.5, 4 \times 1.5\right) = B'(0, 6)$
$C'\left(2 \times 1.5, 2 \times 1.5\right) = C'(3, 3)$
✅ 答案： $A'(-3, 0)$、$B'(0, 6)$、$C'(3, 3)$。
在坐标系中依次连接 $A'-B'-C'$ 即可得到放大后的三角形。
💡 易错提醒：横纵坐标都要乘以 k，不要只乘其中一个！
⚠️ 常见误区
- 误区一：以为“位似”就是“相似”
🙅 相似只要求形状相同，不要求对应点的连线交于一点。而位似不仅形状相同，还要求所有对应点连线经过同一个点。所以：位似一定相似，但相似不一定位似。 - 误区二：位似比弄反
🙅 位似比 $k = \dfrac{\text{对应点到位似中心的距离}}{\text{原点到位似中心的距离}}$。如果 $k>1$ 是放大，$0 - 误区三：坐标系中只乘一个坐标
🙅 以原点为位似中心时，横坐标和纵坐标都要乘以位似比，缺一不可。 - 误区四：以为位似中心只能在图形外部
🙅 位似中心可以在图形外部（最常见），也可以在图形内部，甚至在图形的一条边上或顶点上。
💡 学习建议
- 动手画一画： 拿一张白纸，画一个三角形，在外面选一个点作为位似中心，用直尺连线放大或缩小，亲身感受位似变换的过程。
- 记口诀： “位似变换三件套，中心相似连线交；坐标变换最简单，横纵同乘位似比。”
- 与前面知识对比： 位似 = 相似 + 对应点连线共点。平移、旋转、轴对称都不改变图形大小，而位似可以放大缩小。
- 生活中的位似： 多观察生活中的“放大缩小”现象，比如手机拍照的变焦、复印机的放大/缩小功能、投影仪等，把数学和生活联系起来。
🔗 知识链接
| 已学知识 | 与位似的关系 |
|---|---|
| 相似 | 位似图形一定相似，相似是位似的基础。区别在于位似有“中心”，相似没有。 |
| 平移、旋转、轴对称 | 这几种变换都不改变图形的大小（全等变换），而位似可以放大或缩小图形。 |
| 坐标系中的变换 | 平移、旋转、轴对称、位似都是坐标系中的重要变换，位似的坐标变换最简洁：$(x,y) \to (kx, ky)$。 |
✍️ 习题自测
- 基础题： 如果 $\triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 关于点 $O$ 位似，$OA = 3\text{cm}$，$OA' = 12\text{cm}$，求位似比 $k$，并判断是放大还是缩小。
- 进阶题： 在坐标系中，点 $M(-6, 9)$ 以原点 $O$ 为位似中心缩小到原来的 $\dfrac{1}{3}$，求对应点 $M'$ 的坐标。
- 综合题： 已知 $\triangle PQR$ 的三个顶点 $P(1,2)$、$Q(3,4)$、$R(0,5)$，以原点为位似中心，位似比 $k = -2$，画出 $\triangle P'Q'R'$ 并写出各顶点坐标。（提示：$k<0$ 表示图形不仅放大，还旋转了 180°）
📌 点击查看答案
- $k = \dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{12}{3} = 4$，因为 $k>1$，所以是放大。
- $k = \dfrac{1}{3}$，$M'\left(-6 \times \dfrac{1}{3},\; 9 \times \dfrac{1}{3}\right) = M'(-2, 3)$。
- $k = -2$，每个坐标乘以 $-2$：
$P'(-2, -4)$、$Q'(-6, -8)$、$R'(0, -10)$。
图形不仅放大到原来的 2 倍，还绕原点旋转了 180°（即反向位似）。