位似的概念与性质（专题复习）
从照片放大缩小出发，带您理解位似的定义、性质、作图与坐标变换；通过图形对比与例题练习，掌握位似与相似的联系与区别。
一、概念导入：生活中的“放大缩小”
你有没有用过手机把照片放大？或者将一张图片投影到屏幕上？在这些操作中，图片的形状完全不变，只是大小变了。而且，放大时所有点都从同一个“中心”向外扩散——就像眼睛看东西，远处的物体在视网膜上缩小，近处的放大。这个“中心”在数学上叫做位似中心，这种变换就叫位似变换。
位似是一种特殊的相似变换，它有两个关键词：形状相同（对应角相等）和中心对应（所有对应点的连线都经过同一点）。
观察上图：左边小矩形放大到右边大矩形，形状不变，对应顶点的连线（红色虚线）都交于同一点O。这就是位似的基本特征。
二、核心定义与性质
1. 位似的定义
如果两个图形相似，并且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
关键点：位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形（只有当对应点连线交于一点时才是位似）。
2. 位似比（相似比）
位似图形中，对应边的比叫做位似比，通常记为 k。如果 k > 1，图形被放大；如果 0 < k < 1，图形被缩小。注意 k 也可以为负值（表示反向位似，图形在位似中心的另一侧），九年级一般只研究正值情况，但了解方向相反也是位似。
3. 位似的性质
- 对应边平行（或共线）：因为位似中心O与对应点连线成比例，由平行线分线段成比例定理可推出对应边平行。
- 对应角相等：由于图形相似，对应角自然相等。
- 周长比 = 位似比，面积比 = 位似比的平方。
- 对应点到位似中心的距离比等于位似比：即 OA' / OA = OB' / OB = k。
在图2中，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心O在两个三角形内部。观察发现：AB∥A'B'，AC∥A'C'，BC∥B'C'。对应边的比值相等，且等于OA':OA等。
三、位似作图
如何画出一个图形的位似图形？很简单：
- 确定位似中心O（可以在图形外部、内部或边上）。
- 确定位似比k（放大或缩小的倍数）。
- 连接图形上的关键点与O，并在射线（或反向延长线）上截取点，使得OA' = k·OA（同侧）或OA' = -k·OA（异侧）。
- 依次连接新点，即得到位似图形。
作图时务必注意：若要求图形在位似中心同侧，取点方向与原点方向一致；若要求异侧（反向），取反向延长线，此时图形与原来的方向相反。
四、坐标系中的位似
当位似中心为坐标原点时，位似变换非常简单：
如果原图形上一点的坐标为 (x, y)，位似比为 k，则对应点坐标为 (kx, ky)（同侧）或 (-kx, -ky)（异侧）。
这个公式可以看作：以原点为中心，将向量 (x,y) 伸长或缩短为原来的 k 倍。
如上图，原三角形各顶点坐标乘2即得对应点。注意：原点作为位似中心时，图形被整体缩放，位置沿射线方向移动。
五、典型例题
例1（基础）：四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形，点O是位似中心，已知AB=3cm，A'B'=6cm，求位似比k，以及四边形A'B'C'D'的周长是四边形ABCD周长的多少倍？面积比是多少？
解：位似比 k = A'B' / AB = 6 / 3 = 2。
周长比等于位似比2，所以A'B'C'D'的周长是ABCD周长的2倍。
面积比等于位似比的平方2²=4，所以面积是4倍。
例2（中等）：在平面直角坐标系中，已知点A(1,2), B(3,1), C(2,4)。以原点为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，写出放大后三角形各顶点坐标（同侧）。
解：以原点为位似中心，k=2，同侧对应点坐标为 (kx, ky)。
A'(2×1, 2×2) = (2,4)
B'(2×3, 2×1) = (6,2)
C'(2×2, 2×4) = (4,8)
注意：如果题目说“反向（异侧）”，则取 (-2x, -2y) 即可。
例3（易混点）：下列两个图形是位似图形吗？如果是，指出位似中心；如果不是，说明理由。
解：图A中的两个矩形中心不重合，对应顶点连线如果不经过同一点，则不是位似图形。实际上，只有当矩形各对应点的连线交于一点时才是位似。图A中，假设左下角对应，右上角对应，连线不一定交于同一点，因此不一定是位似（除非它们中心对称或透视相似）。
图B中的两个矩形，如果它们对应边平行且对应顶点连线交于一点（例如两个矩形的几何中心连线），则可能是位似。但仅凭图形不能确定，需要看对应顶点连线是否共点。通常这种情况，如果矩形中心相同且各边平行，则是位似（中心为共同中心）。图中两个矩形中心不同，但对应顶点连线可能交于外部一点（如正投影），若交于一点则是位似。所以图B可能是位似，但需要具体测量。
总结：判断位似的关键是对应顶点连线是否交于同一点，不能只看形状相同。
六、常见误区
- 误区1：相似图形一定是位似图形。 事实：相似图形只有对应点连线交于同一点时才是位似。例如两个不同心的相似三角形，若不满足共点，则不是位似。
- 误区2：位似比就是相似比，但方向相反时位似比为负数。 九年级通常只取正值，但理解方向很重要。
- 误区3：位似中心一定在图形内部。 事实：位似中心可以在图形内部、外部、边上或顶点上。
- 误区4：对应边一定平行。 事实：对应边平行或共线。如果位似中心在对应边上，对应边可能共线。
七、学习建议
- 对比相似与位似：相似是形状相同大小不同，位似是特殊的相似（对应点连线交于一点）。
- 多画图：自己动手在坐标纸上画不同位置位似中心的图形，加深理解。
- 记住坐标变换公式：以原点为位似中心时，坐标乘位似比（同侧正，异侧负）。
- 做题时先找对应点，再连直线，看是否交于一点。
八、知识链接
- 相似三角形：位似图形一定是相似的，所以相似的所有性质（对应角相等、对应边成比例）都适用。
- 中心对称：中心对称可以看作是位似比为-1（反向位似）的特殊情况。
- 坐标变换：位似是仿射变换的特例，与函数图像的伸缩变换类似（如 y=f(kx) 相对于 y=f(x) 的横向压缩）。
- 投影与视图：位似可以看作物体在平行光或点光源下的投影（点光源对应位似中心）。
九、习题自测
- 已知五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'位似，位似中心为O，OA=5cm，OA'=12cm，求位似比k，并判断是放大还是缩小。
- 在平面直角坐标系中，点P( -2, 4 )，以原点为位似中心，将点P缩小到原来的1/3，求对应点P'的坐标（同侧）。
- 如图，两个三角形是否位似？如果是，找出位似中心；如果不是，说明理由。
参考答案：
- k = OA' / OA = 12/5 = 2.4 >1，所以是放大图形。
- P'( -2×(1/3), 4×(1/3) ) = ( -2/3, 4/3 )。
- 观察图形，对应顶点A与A'、B与B'、C与C'的连线：A(50,150)→A'(180,170)，B(150,150)→B'(260,170)，C(100,50)→C'(220,90)。画图可看出三条直线是否交于一点。通过计算斜率可判断：直线AA'、BB'、CC'的交点大约在(40,190)附近（图中红点），因此它们是位似图形，位似中心为点O(40,190)。