位似
从照片缩放和投影仪引入位似概念，系统讲解位似的定义、性质、作图方法，通过典型例题与自测题帮助学生掌握利用位似中心放大或缩小图形的技能，为后续学习相似三角形与图形变换打下基础。
一、概念导入：从照片缩放说起
同学们，你有没有用过手机把一张照片放大或缩小？当你把照片放大时，照片上每个点都朝着同一个中心（比如照片的中心）向外移动相同的倍数——这种操作在数学上叫做位似变换。同样地，教室里的投影仪把幻灯片上的小图像投射到大屏幕上，每个点都从投影仪的聚光点射出去，形成一个更大的图案——这个聚光点就是位似中心。
在日常生活中，这样的例子还有很多：放大镜下的文字、古建筑的“斗拱”层层叠放、俄罗斯套娃……它们都满足一个共同特征：
两个图形不仅相似，而且对应点的连线都经过同一个点（位似中心），对应边互相平行（或在一条直线上）。
二、核心定义与性质
1. 什么是位似？
如果两个多边形（或图形）满足：
- 它们相似（形状相同，大小可能不同）；
- 对应顶点的连线交于一点；
那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，相似比又叫位似比（放大或缩小的倍数）。
2. 位似的性质
- 对应点的连线都经过位似中心。
- 对应边互相平行（或在同一条直线上）。
- 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
- 位似中心可以在图形内、图形外、一边上或顶点上。
下图展示了一个典型的位似图形：两个三角形ABC和A'B'C'，对应顶点连线都交于点O，对应边AB∥A'B'，BC∥B'C'，AC∥A'C'。
三、位似图形的画法
已知一个图形和多边形，要画出它的位似图形，步骤如下：
- 确定位似中心O；
- 连接图形上的关键点（如顶点）与O；
- 在连线（或其延长线）上按位似比取对应点（例如位似比为k，则OA' = k·OA，注意方向：k>1向外，0
- 依次连接各对应点，得到新图形。
四、典型例题
例1 如图，已知△ABC，以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半（位似比1:2）。请画出缩小后的图形。
思路： 连接OA、OB、OC，在OA上取点A'，使OA' = OA/2（取中点）；同法得B'、C'，连接即可。
解答：
易错提示： 缩小图形时，对应点应在O与顶点连线的靠近O一侧，而不是延长线上。
例2 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为O。已知AB=3，EF=5，求位似比。
思路： 位似比等于对应边之比（对应边平行且成比例）。注意分清哪个是原图，哪个是放大后的图。
解答： 因为四边形ABCD∽四边形EFGH，且AB对应EF，所以位似比k = EF/AB = 5/3 ≈ 1.67（即从ABCD到EFGH放大了1.67倍）。如果反过来（从EFGH到ABCD），位似比为3/5。
易错提示： 位似比通常指“新图与原图对应边的比”，有时题目要求“相似比”，要注意区别方向。
五、常见误区
- 误区一： 认为所有相似图形都是位似图形。只有对应点的连线交于一点的相似才是位似，否则只是普通相似。
- 误区二： 画位似图形时忘记考虑方向（内外）。k>1时对应点位于位似中心远离原图形一侧；0
- 误区三： 认为位似中心必须在图形内部。实际上可以在外部、边上或顶点。
六、学习建议
- 动手画几个位似图形，感受“连线过同一个点”的直观意义。
- 与“相似三角形”对比学习：位似不仅相似，而且还有特殊的位置关系（对应边平行）。
- 牢记位似的作图步骤：定中心→连射线→取对应点→连线。
七、知识链接
- 前驱知识： 相似三角形、比例线段、平行线分线段成比例。
- 后继知识： 图形变换（平移、旋转、轴对称、位似合称四种变换）、坐标中的位似变换、投影与视图。
- 实际应用： 图形设计、地图缩放、摄影中的变焦。
八、习题自测（附答案）
- 如图所示，①和②是否位似？如果是，指出位似中心；如果不是，请说明理由。
图3：两个五边形 - 已知△ABC的顶点A(1,2), B(3,4), C(2,1)，以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，请写出放大后△A'B'C'的坐标。（坐标在x轴和y轴方向同时放大）
- 两个位似三角形的位似比为1:3，如果小三角形的周长为12cm，求大三角形的周长。
参考答案
- 不是位似图形。因为对应点的连线（图中虚线）虽然看起来汇聚，但实际上并未严格交于同一点（误差较大）。真正的位似要求所有连线经过同一个点，这里五条线不共点。
- A'(2,4), B'(6,8), C'(4,2)。提示：以原点为位似中心时，坐标同时乘以位似比（注意内放还是外放，这里放大为正2倍，所以坐标乘2）。若方向相反则乘-2。
- 周长比等于位似比，即1:3，所以大三角形周长为12×3=36cm。