位似——相似图形中的“放大镜”与“缩小镜”
本专题从生活实例出发，系统讲解位似图形的定义、性质及分类，重点突破位似中心的确定、位似比的计算、坐标平面内的位似变换（以原点为中心）。通过典型例题的对比分析，帮助学生理解位似与相似、中心对称的关系，掌握解决位似综合问题的思路。
一、概念导入
同学们，你有没有用手机拍过照片？当你用手指在屏幕上“放大”或“缩小”一张照片时，照片上每一个点都好像被一个看不见的“中心”向外或向内拉拽——这个中心通常是屏幕的中心或你缩放手势的中心。在数学里，这种“由一个中心出发，将图形整体放大或缩小”的变换，就叫做位似变换，而得到的两个图形是位似图形。
位似图形是相似图形的一种特殊情形。最简单的例子：用复印机把一张地图按比例缩放，复印出来的地图与原地图就是位似关系。
二、核心讲解
1. 位似图形的定义
如果两个多边形（或图形）不仅相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比。
2. 位似图形的性质
- 对应点连线：每一对对应点与其位似中心三点共线，且 $\displaystyle \frac{OA'}{OA} = k$（$k$ 为位似比，$O$ 为位似中心，$A,A'$ 为对应点）。
- 对应边：对应边互相平行（或在同一直线上）。
- 形状不变：位似变换只改变图形的大小，不改变形状。
3. 位似的分类
- 同侧位似：两个图形在位似中心的同一侧，对应点在从中心出发的同一射线上（位似中心在图形外部）。
- 异侧位似：两个图形在位似中心的两侧，对应点在从中心出发的相反射线上（位似中心在图形之间，也可看作旋转180°的相似）。
4. 位似与相似、中心对称的关系
- 位似的图形一定相似，但相似图形不一定位似（没有公共的位似中心）。
- 当位似比 $k=1$ 且同侧时，两个图形重合；当位似中心在图形内部且同侧时，位似图形是原图形的放缩。
- 异侧位似且 $k=1$ 时，就是中心对称（旋转180°）。所以中心对称是位似的特殊情况。
三、坐标系中的位似变换
在平面直角坐标系中，如果以原点 $O(0,0)$ 为位似中心，相似比为 $k$（$k>0$），那么原图形上的任意点 $P(x,y)$ 经过位似变换后的对应点 $P'$ 的坐标为：
- 同侧：$P'(kx, ky)$ （图形放大或缩小，方向不变）
- 异侧：$P'(-kx, -ky)$ （图形放大或缩小，方向相反）
特别地，当 $k=2$ 且同侧时，所有点的横纵坐标都变为原来的2倍，图形面积变为原来的4倍。当 $k=\frac12$ 时，图形缩小为原来的一半。
四、典型例题
例1（基础）：如图，四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D' 是位似图形，位似中心为 O。已知 AB = 3 cm，A'B' = 6 cm，OA = 4 cm，求 OA' 的长。
思路： 位似比 $k = \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{6}{3} = 2$。根据性质，$\dfrac{OA'}{OA} = k$，所以 $OA' = k \cdot OA = 2 \times 4 = 8$ cm。
易错点： 注意是 $OA'$ 与 $OA$ 的比等于位似比，而不是 $OA$ 与 $OA'$ 的比。
例2（中等）：在方格纸（每个小方格边长为1）中，以点 O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的 $\dfrac12$，画出缩小后的图形（要求：缩小后的三角形在 O 的同侧）。
思路： 确定每个顶点的对应点。设 O 为坐标原点，A(2,4)，B(4,2)，C(1,1)。同侧缩小 $k=\frac12$，则对应点坐标：A'(1,2)，B'(2,1)，C'(0.5,0.5)。在方格纸上找到这些点并连接。注意：原图在 O 的右上方，缩小后的图形也在同一区域。
提醒： 实际画图时，先连接 OA 并取中点即得 A'，类似得到 B',C'。
例3（综合）：在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(1,2)、B(3,1)、C(2,4)。以原点 O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的 3 倍，且使放大后的三角形与△ABC 在原点两侧（异侧）。求放大后三角形的顶点坐标，并计算放大前后三角形的面积比。
思路： 异侧放大 $k=3$，对应点坐标同时乘以 -3：A'(-3, -6)，B'(-9, -3)，C'(-6, -12)。面积比等于位似比的平方：$S_{△A'B'C'} : S_{△ABC} = 3^2 : 1 = 9:1$。
常见错误： 有的同学忘记负号，误认为同侧；或者面积比直接等于位似比（忘记平方）。
五、常见误区
- “相似就是位似”：错，位似要求对应点连线经过同一个点，而相似没有这个要求。
- “位似中心一定在两个图形之间”：不一定，同侧位似时中心在图形外部，异侧位似时才在图形之间。
- “对应边一定平行”：正确，但如果对应边在同一直线上也算平行（共线），需要注意此处的“平行”包含共线。
- “用坐标表示位似时只改变一个坐标”：必须横纵坐标同时乘以 $k$ 或 $-k$，面积变化要考虑平方。
六、学习建议
- 动手画图： 在方格纸上画几个不同的位似图形，尝试改变位似中心和位似比，观察对应点的位置关系。
- 对比记忆： 将位似与平移、旋转、轴对称、相似放在一起对比，理解它们之间的区别与联系。
- 狠抓坐标变换： 坐标系中的位似变换是中考常考题型，熟练掌握 $(x,y)\to(kx,ky)$ 和 $(x,y)\to(-kx,-ky)$ 的规律。
- 面积与位似比： 牢记面积比等于位似比的平方，周长比等于位似比。
七、知识链接
- 相似三角形：位似的理论基础，判定与性质是解题工具。
- 中心对称：当位似比 $k=-1$ 时，即为中心对称（旋转180°）。
- 坐标变换：位似变换与平移、轴对称共同构成平面直角坐标系中图形变换的三大板块。
- 投影与视图：位似可以看作平行投影的抽象模型，利用位似可以理解“小孔成像”等物理现象。
八、习题自测
- 如图，△ABC 与 △DEF 是位似图形，点 O 为位似中心。若 OA:AD = 2:3，求 △ABC 与 △DEF 的周长比。
- 在平面直角坐标系中，点 P(4, -2) 以原点 O 为位似中心，同侧缩小为原来的 $\frac14$，求对应点 P' 的坐标。
- 一个正方形经过位似变换后得到另一个正方形，如果面积从 16 cm² 变为 4 cm²，求位似比 k（同侧）。
参考答案：
- OA:AD=2:3，则 OA:OD=2:5（注意OD=OA+AD），位似比 $k=\dfrac{OA}{OD}=\frac25$，周长比等于位似比 $\frac25$。
- $P'(4\times \frac14, -2\times \frac14) = (1, -0.5)$。
- 面积比 $\frac{4}{16} = \frac14 = k^2$，所以 $k=\frac12$（同侧取正值）。