数学 10年级简单

函数与方程：用函数观点看方程

从一次函数与一次方程的关系出发，带你理解“函数零点”就是方程的解，掌握用函数图像求解方程的方法，并学会用二分法近似求零点，建立函数与方程之间的桥梁。

📅 2026-07-26 👁️ 1 次阅读

函数零点零点存在性定理二分法二次函数与二次方程数形结合

概念导入：从一次函数说起

同学们，我们早就学过解一元一次方程 2x+1=0，答案是 x=-0.5。你也画过一次函数 y=2x+1 的图像。那你有没有想过：方程的解和函数图像有什么关系？

想象一下，我们把方程 2x+1=0 左边看作一个函数 y=2x+1，右边0就是 y=0。方程的解就是让函数值等于0的那个自变量的值。在图像上，就是函数图像与x轴交点的横坐标！

这就是我们今天要讲的核心理念：函数与方程——把方程的解看作函数图像与x轴交点的横坐标，这个交点称为函数的零点。

核心讲解：零点的定义

函数零点：对于函数 y=f(x)，使 f(x)=0 成立的实数x叫做函数的零点。
注意：零点是一个数（横坐标），不是一个点！
方程 f(x)=0 的实数根就是函数 y=f(x) 的零点。

关系图：

函数 y=f(x) 的图像与 x 轴交点的横坐标 ⇔ 方程 f(x)=0 的实数根 ⇔ 函数 f(x) 的零点

举个例子：函数 y=x^2 - 4，令 x^2-4=0，得 x=±2。所以零点为 -2 和 2。图像与x轴交于 (-2,0) 和 (2,0)。

图形辅助：二次函数零点示例

下面我们用图像展示二次函数 y=x^2-2x-3 的零点。

图1：函数 y=x^2-2x-3 的图像，零点为 x=-1 和 x=3

零点存在性定理（关键）

如果函数 y=f(x) 在区间 [a, b] 上的图像是连续不断的曲线（也就是没有断开），并且 f(a) · f(b) < 0（即两端点函数值一正一负），那么函数在区间 (a, b) 内至少有一个零点。即方程 f(x)=0 在 (a, b) 内至少有一个实数根。

这个定理只告诉我们存在零点，但不一定只有一个。如果函数在区间内是单调的（一直增或一直减），那么就有唯一的零点。

典型例题：由易到难

例1（基础）：判断函数 f(x)=x^3 - 2x - 1 在区间 [1, 2] 上是否有零点？

思路：计算端点函数值，看乘积是否小于0。
步骤：
f(1)=1^3 - 2×1 -1 = 1-2-1 = -2
f(2)=2^3 - 2×2 -1 = 8-4-1 = 3
因为 f(1)·f(2) = (-2)×3 = -6 < 0，且函数 f(x)=x^3-2x-1 是连续不断的，所以区间 (1,2) 内至少有一个零点。

例2（中等）：已知函数 f(x)=x^2 - 2mx + 4 有两个不同的零点，求实数 m 的取值范围。

思路：二次函数有两个不同零点等价于判别式 Δ > 0。
Δ = (-2m)^2 - 4×1×4 = 4m^2 - 16
令 4m^2 - 16 > 0，得 m^2 > 4，即 m < -2 或 m > 2。
注意：不要忘记二次项系数不能为0，此处已经是二次函数所以没问题。

例3（综合）：用二分法求方程 ln x + 2x - 6 = 0 的一个近似解（精确度0.1）。

思路：构造函数 f(x)=ln x + 2x - 6，找到根所在区间，然后二分。
步骤：
1. 找初始区间：f(2)=ln2+4-6≈0.693-2≈-1.307，f(3)=ln3+6-6≈1.099，所以根在 (2,3)。
2. 取中点 2.5：f(2.5)=ln2.5+5-6≈0.916-1=-0.084，负值，与 f(3) 异号 → 根在 (2.5,3)。
3. 取中点 2.75：f(2.75)=ln2.75+5.5-6≈1.011-0.5=0.511，正值，与 f(2.5) 异号 → 根在 (2.5,2.75)。
4. 取中点 2.625：f(2.625)=ln2.625+5.25-6≈0.965-0.75=0.215，正值 → 根在 (2.5,2.625)。
5. 取中点 2.5625：f(2.5625)=ln2.5625+5.125-6≈0.941-0.875=0.066，正值 → 根在 (2.5,2.5625)。
6. 区间长度 2.5625-2.5=0.0625 < 0.1，满足精度，可取近似解 2.5 或 2.5625，通常取中点 2.53（保留两位小数）。
易错：二分法必须保证函数连续，且区间端点函数值异号；每次取中点，根据中点函数值的正负确定新区间。

常见误区

误区1：认为零点是点 (0, x)。错！零点是数 x，不是坐标点。
误区2：看到 f(a)·f(b) < 0 就以为只有一个零点。定理只说至少一个，可能有多个。
误区3：直接用判别式判断所有方程的根。判别式只适用于一元二次方程，一般函数要用零点存在性定理或图像。
误区4：二分法时，每次区间长度缩为原来的一半，但精度要求的是区间长度小于某个数，而不是函数值趋于0。

学习建议

数形结合：每次拿到一个方程，先想想对应的函数图像大致是什么形状，这能帮你快速判断根的范围和个数。
列表尝试：对于复杂的函数零点问题，可以代入几个整数值看看函数值的正负变化，缩小根所在区间。
记忆口诀：“零点不是点，是数；连续函数看符号，一正一负必有根”。
动手画图：自己画几个一次、二次、三次函数的草图，标出零点，加深印象。

知识链接

函数与方程是连接代数与几何的桥梁，为后续学习不等式（函数值大于0、小于0对应图像在x轴上方或下方）和导数（利用导数研究函数零点个数）打下基础。
二分法是算法思想的雏形，也是计算机科学中二分查找的原理，体现了数学与信息技术的交叉。
零点问题还常常与函数单调性、奇偶性结合考查，是高考的高频考点。

习题自测

判断函数 f(x)=2^x + x - 4 在区间 (1,2) 内是否有零点。
若二次函数 y=x^2 - (k+1)x + k 有一个零点是2，求另一个零点。
用二分法求方程 x^3 - x - 2 = 0 在区间 [1,2] 内的一个近似解（精确度0.1）。

自测答案：
1. f(1)=2+1-4=-1，f(2)=4+2-4=2，乘积为负且函数连续，所以在(1,2)内有零点。
2. 将x=2代入函数得 4 - 2(k+1) + k = 0 => 4 - 2k - 2 + k = 0 => 2 - k = 0 => k=2。原函数为 y=x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)，另一个零点是1。
3. 提示：初始区间[1,2]，f(1)= -2，f(2)=4。中点1.5 → f(1.5)≈-0.125；区间变为(1.5,2)。中点1.75 → f(1.75)≈1.609；区间变为(1.5,1.75)。中点1.625 → f(1.625)≈0.66；区间变为(1.5,1.625)。中点1.5625 → f(1.5625)≈0.25；区间(1.5,1.5625)长度0.0625<0.1，所以近似解可取1.5或1.5625，通常取1.53（精确到0.1为1.5）。

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