函数模型
函数模型是用数学函数描述现实问题中变量之间关系的方法。通过手机套餐、出租车计费、商品利润等生活实例，学习如何建立一次函数、二次函数和分段函数模型，并利用函数解决实际问题。
概念导入
大家几乎都有手机，每月要交话费。运营商推出不同套餐：比如A套餐：月基本费18元，含200分钟通话，超出部分每分钟0.1元；B套餐：无月租，每分钟0.15元。你该如何选择？这就需要用函数模型比较费用与通话时间的关系。
核心讲解
函数模型就是用函数表示两个变量之间的关系。常见的有：一元一次函数（$y=kx+b$）、一元二次函数（$y=ax^2+bx+c$）、分段函数等。建立函数模型的一般步骤：
1. 审题，明确自变量、因变量。
2. 用字母表示变量，设$x$、$y$。
3. 根据数量关系列出函数表达式。
4. 确定自变量取值范围（实际问题往往有范围限制）。
5. 利用函数性质分析问题（如求最值、比较大小）。
6. 检验结果是否符合实际。
分段函数模型示例——出租车计费
某市出租车计费：起步价10元（3km内），超过3km后每千米加价1.5元（不足1km按1km计）。建立车费$y$（元）与路程$x$（km）的函数关系。
解：当$x≤3$时，$y=10$；当$x>3$时，$y=10+1.5×(⌈x⌉-3)$（其中⌈x⌉表示向上取整）。通常为简化，取$x$为实数且分段连续：
$$y=\begin{cases}10, & 0
从图像上可以直观看出：当路程不超过3km时，费用不变；超过后线性增长。
典型例题
例1（一次函数模型）：某移动通信公司推出两种套餐：A套餐月租18元，免费200分钟，超出部分0.1元/分钟；B套餐无月租，每分钟0.15元。每月通话时间x分钟，写出两种套餐费用y的函数表达式，并比较哪种更省钱。
思路：分段函数与一次函数比较。
解答：A套餐：$y_A = \begin{cases} 18, & 0 \le x \le 200 \\ 18+0.1(x-200), & x>200 \end{cases}$，B套餐：$y_B = 0.15x$。比较：令$0.15x=18$得$x=120$；当$x<120$时B便宜；当$120
例2（二次函数模型）：某商店每天销售某商品，进价每个40元，售价每个60元时，每天可卖出100个。经调查，若售价每提高1元，日销量减少2个；售价每降低1元，日销量增加2个（但售价不低于进价）。为获得最大日利润，售价应定为多少？
思路：设涨价x元（x≥0）或降价x元（x≥0），分别建立二次函数，比较最大值。
解答：设每个售价为p元，涨价时利润L=(p-40)×[100-2(p-60)]。令p=60+x，则L=(20+x)(100-2x)=-2x²+60x+2000。配方得L=-2(x-15)²+2450，故当x=15，即售价75元时，利润最大2450元。降价情况：设p=60-x（0≤x≤20），L=(20-x)(100+2x)= -2x²-60x+2000，顶点在x=-15（不在定义域），在x=0处最大2000。所以涨价方案更优。答：定价75元。
常见误区
- 忽略自变量的实际取值范围（如x不能为负、人数、件数必须整数）。
- 分段函数的分段点处理不当（如端点归属、函数值是否连续）。
- 二次函数求最值时忘记考虑定义域，直接套用顶点坐标。
- 单位换算错误（如分钟与小时、元与角）。
学习建议
多练习从实际情境中提取变量关系；画图辅助分析；注意检查答案的合理性和实际意义。
知识链接
函数模型是初中一次函数、二次函数、方程、不等式的综合运用，也为后续学习指数函数、对数函数等更复杂模型打下基础。
习题自测
- 某打车平台：起步价8元（3km内），超过3km后每千米2元（不足1km按1km）。写出费用y与里程x的关系式。若里程为6.3km，应付多少钱？
- 某农场种植某种作物，每公顷成本1万元，售价每吨1.5万元，产量y（吨）与化肥施用量x（千克）满足y=-0.01x²+2x+10（x≥0）。试求利润最大的施用量和最大利润。
- 比较两种通信套餐：A. 月租30元，赠送100分钟，超出0.1元/分钟；B. 无月租，0.2元/分钟。问哪种更划算？
答案：1. $y=8 (0