定积分初步
从旋转体体积的直觉出发，理解定积分的“分割-近似-求和-取极限”思想，掌握微积分基本定理，并能解决面积、体积等综合问题。
1. 概念导入：从“切花瓶”到定积分
想象一个造型奇特的花瓶，如何精确计算它的容积？我们自然想到：把花瓶切成无数片薄如蝉翼的圆片，每个圆片近似为圆柱体，计算每个小圆柱的体积再求和。当切片无限薄时，这个和就趋近于真实容积。这种“分片近似，合为整体”的思想，正是定积分的精髓。
2. 核心讲解：定积分的定义与几何意义
设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有定义（连续或分段连续）。将区间 $[a,b]$ 均匀分成 $n$ 等份，每个小区间长度为 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$，在第 $i$ 个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上任取一点 $\xi_i$，作和式
$$ S_n = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x $$若当 $n \to \infty$ 时（即 $\Delta x \to 0$），$S_n$ 趋于确定值 $I$，则称 $I$ 为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分，记为
$$ \int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x $$几何意义：当 $f(x) \ge 0$ 时，定积分表示曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴、直线 $x=a$、$x=b$ 所围成的曲边梯形面积。
3. 微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）
如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，即 $F'(x) = f(x)$，那么
$$ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) $$这条定理将定积分与导数联系起来，使定积分的计算从复杂的求和极限转化为求原函数。口诀：“上限代入减下限”。
4. 典型例题
例1（定义法）：用定义计算定积分 $\displaystyle \int_0^1 x^2 \, dx$。
思路：利用等分区间、取左端点的方式，计算黎曼和的极限。
步骤：
- 将 $[0,1]$ 分成 $n$ 等份，每份长 $\Delta x = \frac{1}{n}$。
- 取左端点 $\xi_i = \frac{i-1}{n}$，$i=1,\dots,n$。
- 黎曼和 $S_n = \sum_{i=1}^n \left(\frac{i-1}{n}\right)^2 \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^3} \sum_{k=0}^{n-1} k^2 = \frac{1}{n^3} \cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$。
- 求极限：$\lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^3} \cdot \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{6} = \frac{1}{3}$。
故 $\displaystyle \int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}$。
⚠ 易错：求和公式记错（平方和公式 $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$）。
例2（分段函数）：求定积分 $\displaystyle \int_{-1}^2 |x| \, dx$。
思路：绝对值函数是分段函数，需要根据 $x$ 范围去掉绝对值。
步骤：
- 在 $[-1,0]$ 上，$|x| = -x$；在 $[0,2]$ 上，$|x| = x$。
- 原积分 = $\int_{-1}^0 (-x) \, dx + \int_0^2 x \, dx$。
- $\int_{-1}^0 (-x) \, dx = \left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^0 = 0 - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$。
- $\int_0^2 x \, dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 = 2 - 0 = 2$。
- 总和 = $\frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$。
⚠ 易错：直接写成 $\int_{-1}^2 x \, dx$ 忽略绝对值，结果会得到错误的 $\frac{3}{2}$。
例3（旋转体体积）：求曲线 $y = \sqrt{x}$ 与直线 $y = x$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。
思路：先求交点确定积分区间，再用“圆盘法”，体积元素 $dV = \pi [f(x)]^2 dx$，注意旋转“空心”部分减法。
步骤：
- 解 $\sqrt{x} = x$ 得 $x=0$ 或 $x=1$，交点为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。
- 在 $[0,1]$ 上，$y=\sqrt{x}$ 位于 $y=x$ 上方，因此旋转后大圆半径为 $\sqrt{x}$，小圆半径为 $x$，体积为圆环面积积分： $$ V = \int_0^1 \pi \left[(\sqrt{x})^2 - (x)^2\right] \, dx = \pi \int_0^1 (x - x^2) \, dx $$
- 计算：$\pi \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = \frac{\pi}{6}$。
故旋转体体积为 $\displaystyle \frac{\pi}{6}$（立方单位）。
⚠ 易错：忘记减去内层旋转形成的体积（圆盘法需要区分实心与空心）。
5. 常见误区
- 误区1：认为定积分的结果总是正数。实际上若函数为负，定积分值为负；求面积时应取绝对值或分段。
- 误区2：直接将 $\int_a^b |f(x)| dx$ 当作 $|\int_a^b f(x) dx|$，这在 $f(x)$ 变号时明显错误。
- 误区3：计算旋转体体积时混淆“绕 $x$ 轴”和“绕 $y$ 轴”，错误使用公式。
- 误区4：分段积分时忽略分段点处的连续性，导致漏项或重复。
6. 学习建议
定积分是积分的起点，掌握它需要三步走：
- 理解思想：反复用“分割-近似-求和-取极限”的思维分析面积、路程、功等实例。
- 熟练计算：牢记基本积分公式（$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$，$\int e^x dx = e^x + C$ 等），多做分段函数、绝对值函数、复合函数（换元法）的练习。
- 联系几何：画图辅助理解积分上下限和面积的正负，圈出被积函数与坐标轴的交点。
7. 知识链接
- 前驱知识：极限思想、导数与微分的概念、求原函数（不定积分）。
- 后续知识：定积分的应用（平面曲线弧长、旋转体侧面积、变力做功、水压力），二重积分初步。
8. 习题自测
- 基础计算：求 $\displaystyle \int_0^2 (x^3 - 2x) \, dx$。
- 面积问题：求由 $y = \sin x$ 与 $x$ 轴在 $[0, \pi]$ 上所围图形的面积。
- 体积问题：设曲线 $y = \frac{1}{x}$ 与直线 $x=1$、$x=2$ 及 $x$ 轴围成的区域，绕 $y$ 轴旋转，求旋转体体积。（提示：可用柱壳法或反函数法）
答案
- $\displaystyle \left[\frac{x^4}{4} - x^2\right]_0^2 = \frac{16}{4} - 4 = 0$。
- $\displaystyle \int_0^\pi \sin x \, dx = 2$。
- 方法一（反函数法）：曲线 $y=1/x$ 对应 $x=1/y$，当 $x\in[1,2]$ 时 $y\in[1/2,1]$；绕 $y$ 轴旋转体积 $V = \pi\int_{1/2}^1 \left(\frac{1}{y}\right)^2 dy = \pi\left[-\frac{1}{y}\right]_{1/2}^1 = \pi( -1 + 2) = \pi$。方法二（柱壳法也可得相同结果）。