数学 12年级简单

数学建模入门：共享单车计费问题

以共享单车计费为例，讲解数学建模的基本步骤：问题分析、变量设定、建立函数模型、求解与检验。重点掌握分段函数模型在实际问题中的应用。

📅 2026-07-26 👁️ 1 次阅读

数学建模分段函数向上取整实际应用

1. 概念导入：从日常骑行到数学模型

你骑过共享单车吗？扫码开锁、骑一段路、关锁结费——是不是很熟悉？假设某品牌共享单车收费标准为：每30分钟收费1.5元，不足30分钟按30分钟计；若骑行超过2小时，超过部分每30分钟加收1元（不足30分钟按30分钟计）。如果你骑了t分钟，应付多少钱？

这个问题看似简单，却隐藏着分段函数的模型。今天我们就用它引出数学建模的核心思想：

数学建模：把现实世界的问题转化为数学问题（建立方程、函数、不等式等），然后通过数学计算得到结果，最后回到现实中解释和验证。

图1：分段函数 y = f(t) 的部分阶梯（实际每个区间左闭右开）

（上图仅为示意，实际计费为阶梯函数：每个30分钟段线性增长）

2. 核心讲解：数学建模的四个步骤

2.1 问题分析（现实问题）

我们要回答：骑行时间t分钟，费用y元。现实中的规则是分段计价，关键点是分段边界（30分钟、120分钟）以及不足30分钟按30分钟计。

2.2 建立数学模型（数学问题）

设骑行时间为t分钟（t≥0），费用y元。我们需要用数学语言描述计费规则。

首先将时间划分为若干区间，利用取整函数$\lceil x \rceil$（向上取整）可以简洁表示。每个30分钟段收费1.5元，前2小时内共4个段（0-30,30-60,60-90,90-120）。若t≤120，段数$n = \lceil \frac{t}{30} \rceil$；若t>120，前4段收费6元，超出部分每30分钟1元，段数$m = \lceil \frac{t-120}{30} \rceil$。

于是：

$$ y = \begin{cases} 1.5 \lceil \frac{t}{30}\rceil, & 0 < t \leq 120 \\ 6 + 1 \cdot \lceil \frac{t-120}{30}\rceil, & t > 120 \end{cases} $$

注意t=0时y=0（未骑行），但实际开锁后不足一分钟也算一次，我们可定义t>0。

2.3 求解数学模型

例如：

t=25分钟 → $\lceil 25/30\rceil =1$ → y=1.5×1=1.5元
t=30分钟 → $\lceil 30/30\rceil =1$ → y=1.5元
t=31分钟 → $\lceil 31/30\rceil =2$ → y=3元
t=150分钟 → 120分钟已付6元，超出30分钟，$\lceil (150-120)/30\rceil =1$ → y=6+1=7元

2.4 检验与解释

对照实际扣费：骑25分钟扣1.5元，骑31分钟扣3元，符合常识。模型正确。

数学建模的关键：将文字规则翻译成数学符号和函数关系，再通过计算得到可用结果。

3. 典型例题

例题1（基础）

某快递公司收费标准：首重1kg内10元，续重每1kg加收5元（不足1kg按1kg计）。试建立费用y（元）与重量x（kg）的数学模型，并计算4.5kg的快递费。

思路：同样使用向上取整。首重段0

模型：

$$ y = \begin{cases} 10, & 0 < x \leq 1 \\ 10 + 5\lceil x-1 \rceil, & x > 1 \end{cases} $$

计算x=4.5：首重1kg付10元，续重3.5kg，$\lceil 3.5 \rceil =4$，续重费用5×4=20元，总计30元。

例题2（综合）

为了鼓励居民节约用电，某市实行阶梯电价：每月用电量不超过200度时，每度0.5元；超过200度但不超过400度时，超过部分每度0.7元；超过400度时，超过部分每度1.0元。建立每月电费y（元）与用电量x（度）的数学模型。

思路：分段函数，定义域划分为(0,200]、(200,400]、(400,+∞)。

模型：

$$ y = \begin{cases} 0.5x, & 0 \leq x \leq 200 \\ 0.5\times200 + 0.7(x-200), & 200 < x \leq 400 \\ 0.5\times200 + 0.7\times200 + 1.0(x-400), & x > 400 \end{cases} $$

化简：

$$ y = \begin{cases} 0.5x, & 0 \leq x \leq 200 \\ 0.7x - 40, & 200 < x \leq 400 \\ x - 160, & x > 400 \end{cases} $$

计算x=350度：属于第二段，y=0.7×350−40=245−40=205元。

例题3（建模应用）

池塘里水藻每天增长一倍，第10天覆盖整个池塘。问第几天覆盖一半池塘？请建立指数增长模型并求解。

思路：设第n天覆盖面积为$S_n$，每天增长一倍，模型为$S_n = S_0 \cdot 2^n$。已知第10天覆盖整个池塘，即$S_{10}=1$（设总面积为1），则$S_0 \cdot 2^{10}=1$，得$S_0 = 2^{-10}$。要求$S_n=0.5$，即$2^{-10}\cdot 2^n=0.5$，化简得$2^{n-10}=2^{-1}$，所以$n-10=-1$，$n=9$。

因此第9天覆盖一半池塘。这个模型简洁而经典。

4. 常见误区

忽略“不足部分按整体计”：容易忘记使用向上取整，直接用除法得到小数。例如时间25分钟，费用算成25/30×1.5=1.25元，但实际收费1.5元。必须用分段或取整函数。
边界值归属：例如t=30分钟，模型应算第1个30分钟，费用1.5元，而不是进入第2段。必须注意区间左闭右开或左开右闭的约定。
混淆模型与实际：数学模型是近似，但必须确保边界合理。如电费模型第二段表达式要减掉第一段费用，不要重复计算。

5. 学习建议

从生活中的“计费”“扣费”“生长”等场景入手，亲手写函数表达式，再画图验证。
熟练掌握向上取整$\lceil x\rceil$和分段函数的写法，这是建立分段模型的基础。
多练几道类似题目，例如出租车计费、个人所得税、健身房会员费等。

6. 知识链接

数学建模与以下知识紧密相关：

函数及其性质（分段函数、指数函数、对数函数）
数列（如分期付款模型、增长率模型）
不等式（线性规划、最优方案）
概率统计（抽样估计、回归分析）

掌握建模思想后，可以顺利过渡到大学数学建模竞赛和实际问题研究。

7. 习题自测

某停车场收费标准：前1小时免费，之后每小时收费5元（不足1小时按1小时计）。设停车t小时（t≥0），费用y元。请建立数学模型，并计算停车2.5小时费用。
某城市出租车起步价8元（含3公里），超过3公里后每公里2元（不足1公里按1公里计），超过20公里后每公里3元。建立车费y与里程x（公里）的模型，并计算25公里的车费。
某商品单价10元，但若一次购买超过100件则单价为9元，超过200件则单价为8元。建立总价y与购买数量x的模型，并求购买150件的总价。

参考答案：

1. 模型：$$y = \begin{cases} 0, & 0 \leq t \leq 1 \\ 5\lceil t-1 \rceil, & t>1 \end{cases}$$ t=2.5小时，$\lceil 1.5 \rceil=2$，费用10元。

2. 模型：分段，020时y=8+2×17+3$\lceil x-20\rceil$（注意3到20公里共17公里，但按1公里计费时已取整，实际需用向上取整逐段；更严谨可写阶梯函数）。x=25公里：前3公里8元，3~20公里17公里，每公里2元共34元，超出部分5公里每公里3元共15元，总计57元。

3. 模型：分段，0200时y=8x。x=150件属于第二段，y=9×150=1350元。

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