不等式选讲（基础篇）
本讲从生活实例入手，系统梳理绝对值不等式的解法（含数轴与函数图像法）和基本不等式的应用技巧（一正二定三相等），通过图形辅助、典型例题和常见误区分析，帮助高三学生快速掌握这两类核心不等式的本质。
一、概念导入：从“误差”与“优化”说起
在测量零件长度时，我们常说“误差不超过±0.1mm”，用数学语言就是 $|x - 10| \le 0.1$，这里 $x$ 是实际长度。这就是绝对值不等式的现实来源。另外，用一块固定周长的矩形铁皮围出最大面积，就是基本不等式中“和定积最大”的典型问题。这两个不等式是高考选考中的常客，掌握它们能帮你轻松拿分。
二、核心讲解：两类不等式
2.1 绝对值不等式
定义：形如 $|x| \le a$、$|x| \ge a$（$a>0$）或 $|ax+b| \le c$、$|ax+b| \ge c$ 的不等式。
几何意义：$|x|$ 表示数轴上点 $x$ 到原点 $O$ 的距离。因此
- $|x| \le a \iff -a \le x \le a$，即点 $x$ 到原点的距离不超过 $a$。
- $|x| \ge a \iff x \le -a$ 或 $x \ge a$，即点 $x$ 到原点的距离至少为 $a$。
对于更一般的形式 $|ax+b| \le c$，可先设 $t = ax+b$，变成 $|t| \le c$，解得 $-c \le t \le c$，再代回 $t=ax+b$，解两个一次不等式。绝对值不等式也可以利用平方法（两边平方去掉绝对值符号），但要注意平方的前提是两边非负。
2.2 基本不等式（均值不等式）
内容：对于任意正实数 $a,b$，有
$$ a + b \ge 2\sqrt{ab} $$当且仅当 $a = b$ 时等号成立。变形：$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$（“算数平均数 ≥ 几何平均数”）。
使用口诀：“一正、二定、三相等”。
- 一正：$a,b$ 必须是正数（或非负）。
- 二定：和 $a+b$ 为定值或积 $ab$ 为定值（通常需要对式子变形构造）。
- 三相等：必须验证 $a=b$ 时能否取到等号（取不到则最值在边界取得）。
几何解释：如图2，以 $a+b$ 为直径的半圆中，直角三角形的斜边上的高 $CD$（即 $\sqrt{ab}$）永远不大于半径 $\frac{a+b}{2}$，当 $D$ 为圆心时 $CD$ 等于半径，此时 $a=b$。
三、典型例题
例1（简单）：解不等式 $|x-1|+|x+2| \ge 5$。
思路：采用“零点分段法”。先找到绝对值的零点 $x=1$ 和 $x=-2$，将数轴分成三段：$x<-2$，$-2\le x<1$，$x\ge 1$。分别去掉绝对值符号，转化为一次不等式。
解答：
- 当 $x<-2$ 时，$|x-1|+|x+2| = -(x-1) - (x+2) = -2x-1$，不等式化为 $-2x-1 \ge 5$ ⇒ $-2x \ge 6$ ⇒ $x \le -3$，与条件 $x<-2$ 取交集得 $x \le -3$。
- 当 $-2\le x<1$ 时，$|x-1|+|x+2| = -(x-1)+(x+2) = 3$，不等式 $3 \ge 5$ 恒不成立，无解。
- 当 $x\ge 1$ 时，$|x-1|+|x+2| = (x-1)+(x+2) = 2x+1$，不等式化为 $2x+1 \ge 5$ ⇒ $x \ge 2$，取交集得 $x \ge 2$。
综上，原不等式解集为 $\{x|x \le -3\} \cup \{x|x \ge 2\}$。
易错提示：注意每段解出的结果要与该段范围取交集，最后各段结果取并集；不要忘记等号。
例2（中等）：已知 $x>0$，求函数 $f(x) = x + \frac{1}{x}$ 的最小值。
思路：直接使用基本不等式，检查“一正二定三相等”。
解答：因为 $x>0$，所以 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 都是正数。由基本不等式：
$$ x + \frac{1}{x} \ge 2 \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2 $$当且仅当 $x = \frac{1}{x}$ 即 $x = 1$（$x>0$）时等号成立。所以 $f(x)$ 的最小值为 $2$。
易错提示：有人会忘记“正数”条件（如 $x<0$ 时盲目使用），或忽略“取等”条件（如本题 $x=1$ 在定义域内）。
例3（中等偏易）：关于 $x$ 的不等式 $|x-2|+1 \le a$ 有解，求实数 $a$ 的取值范围。
思路：不等式有解等价于左边的最小值小于等于 $a$。先求 $|x-2|+1$ 的最小值。
解答：因为 $|x-2| \ge 0$，所以 $|x-2|+1 \ge 1$，最小值是 $1$（当 $x=2$ 时取得）。若原不等式有解，只需 $a \ge 1$。所以 $a$ 的取值范围是 $[1,+\infty)$。
易错提示：注意区分“恒成立”和“有解”：恒成立要求左边最大值 ≤ a（对于 ≤ 型），而有解只要求最小值 ≤ a。学生容易混淆符号方向。
四、常见误区
- 绝对值不等式平方时忽略符号：例如 $|x| > -1$ 不能直接平方，因为右边为负，平方后不等号方向可能出错。应直接利用绝对值非负性，$|x| > -1$ 恒成立。
- 分段讨论漏去端点：零点分段时，每个区间的端点不要重复或遗漏，注意区间开闭。
- 基本不等式忘取等：求出最值后必须验证等号能否取得，如果取不到要检查变形或改用单调性。
- 误用“一正”条件：例如求 $x+\frac{4}{x-2}$ 的最小值（$x>2$），要先配凑：$x+\frac{4}{x-2} = (x-2)+\frac{4}{x-2}+2 \ge 2\sqrt{(x-2)\cdot\frac{4}{x-2}} + 2 = 2\times2+2=6$，当 $x-2=\frac{4}{x-2}$ 即 $x=4$ 时取等。
五、学习建议
- 多画数轴，把绝对值不等式转化为几何距离问题，训练“零点分段法”的熟练度。
- 基本不等式的核心是“凑定值”，多练习配凑技巧，如 $\frac{x^2+2}{x+1}$ 可令 $t=x+1$ 换元。
- 建立错题本，专门记录不等式恒成立与有解的条件混淆的题目。
- 每天做2-3道不等式小题保持手感，重点掌握 $\frac{x}{1+x^2}$ 型最值、含参讨论等。
六、知识链接
绝对值不等式与函数图像（如 $y=|x-1|$ 的V形图）、分段函数紧密相关。基本不等式是函数值域、二次函数最值和线性规划中求最优解的重要工具。此外，由基本不等式可以推广到三个以上数的均值不等式，以及柯西不等式（选考内容）。
七、习题自测
- 解不等式 $|2x+1| \le 3$。
- 若 $x>2$，求 $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 4}{x-2}$ 的最小值。
- 关于 $x$ 的不等式 $|x-1| + |x-3| < a$ 的解集为空集，求 $a$ 的取值范围。
参考答案
- 由 $|2x+1| \le 3 \iff -3 \le 2x+1 \le 3$ ⇒ $-4 \le 2x \le 2$ ⇒ $-2 \le x \le 1$。解集为 $[-2,1]$。
- $f(x) = \frac{(x-2)^2+2(x-2)+4}{x-2} = (x-2) + 2 + \frac{4}{x-2}$，当 $x>2$ 时，由基本不等式：$(x-2)+\frac{4}{x-2} \ge 4$，故 $f(x) \ge 4+2=6$，当 $x-2=\frac{4}{x-2}$ 即 $x=4$ 时取等，最小值为 $6$。
- 由绝对值三角不等式 $|x-1|+|x-3| \ge |(x-1)-(x-3)| = 2$，所以左边最小值是 $2$。若不等式解集为空集，即不存在 $x$ 使左边 $< a$，等价于 $a \le 2$。因此 $a$ 的取值范围是 $(-\infty, 2]$。