分数乘除法（困难挑战）—— 从“运蔬菜”问题学会灵活转换单位“1”
通过一个层层递进的“运蔬菜”生活实例，带学生掌握分数乘除法的混合应用，学会用线段图分析谁是谁的几分之几，理解单位“1”变化时的乘除关系，并能灵活运用简便计算。
一、生活导入：运蔬菜中的数学
李叔叔要运一批蔬菜到超市。第一天运走了全部蔬菜的 1/4；第二天又运走了 剩下的 1/3；这时还剩下 60 吨没有运。李叔叔问：“这批蔬菜原来一共有多少吨？”
这个问题和我们之前学的分数乘除法不太一样——因为第二天运走的“1/3”是在“剩下的”基础上算，而“剩下的”本身又是总数的几分之几。我们需要 两步乘除 才能解决，而且 单位“1”在变化。下面我们就来一步步拆解。
从图1我们能看出：
- 第一天：运走了全部的 1/4；
- 第二天：运走了 剩下的 1/3 （注意：不是全部的1/3）；
- 剩余：60 吨。
二、核心讲解：分数乘除法的内涵
1. 分数乘法的意义——求一个数的几分之几
例如：求“全部蔬菜的 1/4”是多少？列式：全部 × 1/4。
如果全部是 120 吨，就是 120 × 1/4 = 30（吨）。
所以在分数乘法中，“的”字前面的量就是单位“1”，要乘上去。
2. 分数除法的意义——已知一个数的几分之几是多少，求这个数
例如：“剩下的 1/3 是 20 吨，求剩下多少？” 列式：20 ÷ 1/3 = 60（吨）。
分数除法就是已知 部分/整体 中的“部分”和“份数（几分之几）”，反过来求“整体”。
3. 核心法则
- 分数乘法：分子乘分子，分母乘分母，能约分的先约分。
- 分数除法：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。
- 带分数：先化成假分数再计算。
三、图形辅助理解
从图2可见，3/4 × 2/3 的几何意义是：先把整体横分4份取3份（蓝色），再把这3份纵分3份取2份（红色重叠部分），结果就是重叠的红色小格占总格子的比例：一共 12 格，重叠 6 格，即 1/2。这就是 分数乘分数 的直观结果。
图3告诉我们：1 里面有 3 个 1/3，所以 1 ÷ 1/3 = 3。这就是分数除法“乘以倒数”的道理——因为每份是 1/3，看 1 里面有几个这样的份。
四、典型例题（由易到难）
例题1：基础分数乘法
一台拖拉机每小时耕地 7/12 公顷，4/5 小时耕地多少公顷？
思路： 求 4/5 小时耕地的公顷数，就是求 7/12 的 4/5 是多少，用乘法。
列式： $\frac{7}{12} \times \frac{4}{5}$
计算： 先约分：7 和 5 不能约；12 和 4 可以同时除以 4 → $\frac{7}{12} \times \frac{4}{5} = \frac{7}{3} \times \frac{1}{5} = \frac{7}{15}$（公顷）。
易错点： 忘记约分，或把分子分母颠倒。注意：只有 分子与分母 才能交叉约分，分子与分子、分母与分母不能约。
例题2：基础分数除法
一根绳子剪去它的 2/3 后，还剩 1.8 米。这根绳子原来长多少米？
思路： 剪去 2/3，剩下 1-2/3 = 1/3。剩下的 1.8 米对应原来的 1/3，即原来的 1/3 是 1.8 米，求原来长度用除法：1.8 ÷ 1/3。
列式： $1.8 \div \frac{1}{3} = 1.8 \times 3 = 5.4$（米）。
检验： 原来 5.4 米，剪去 $5.4 \times \frac{2}{3} = 3.6$ 米，剩下 5.4 - 3.6 = 1.8 米，正确。
易错点： 不要用 1.8 × 2/3 去求，那是求“剩下的 2/3”而不是原长。
例题3：混合应用（回到导入问题）
李叔叔运蔬菜：第一天运全部的 1/4，第二天运剩下的 1/3，还剩 60 吨。这批蔬菜原有多少吨？
步骤分析：
① 先求“剩下的”是多少吨——第二天运走了剩下的 1/3，那么剩下的 60 吨是“剩下的”的 1 - 1/3 = 2/3。
② 所以“剩下的”（即第一天后剩余） = $60 \div \frac{2}{3} = 60 \times \frac{3}{2} = 90$ 吨。
③ 第一天运走了全部的 1/4，那么剩下的 90 吨是全部的 1 - 1/4 = 3/4。
④ 全部蔬菜 = $90 \div \frac{3}{4} = 90 \times \frac{4}{3} = 120$ 吨。
综合算式： $60 \div (1-\frac{1}{3}) \div (1-\frac{1}{4}) = 60 \div \frac{2}{3} \div \frac{3}{4} = 60 \times \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} = 60 \times \frac{4}{2} = 120$（吨）。
易错点： 两次单位“1”不同，不能把它们直接相加减。一定要先求出第一步的单位“1”，再求最终的单位“1”。
五、常见误区
- 误区1： 看到“剩下的 1/3”就认为是全部的 1/3。❌
纠正：题目是“剩下的 1/3”，所以要先算出剩下的量，再乘以 1/3。 - 误区2： 做除法时，被除数与除数颠倒。例如 1 ÷ 2/3 写成 1 × 2/3（应为 1 × 3/2）。
对策：牢记“除以一个数等于乘它的倒数”。 - 误区3： 分数乘法时先通分再乘。❌ 没必要，直接分子乘分子、分母乘分母，能约分的先约分更简单。
- 误区4： 遇到带分数时，忘记化成假分数。例如 1⅓ × 2½ 直接约分。正确做法：先化成 4/3 × 5/2 = 10/3。
六、学习建议
- 画线段图分析： 碰到复杂的分数量关系，一定要先画图，标出已知量和未知量对应的份数。
- 找单位“1”： 一般来说，“的”前面的量、“是”、“占”、“比”后面的量是单位“1”。乘法是求部分；除法是求整体（或另一个比较量）。
- 列数量关系式： 比如“剩下的 2/3 是 60 吨 → 剩下的 × 2/3 = 60 → 剩下的 = 60 ÷ 2/3”。
- 多练习简便计算： 例如 (5/6 + 3/4) × 12 可以利用乘法分配律，比先通分再乘更快。
七、知识链接
- 整数乘除法：分数乘除法的法则本质是整数乘除的推广，25×40 与 2/5×4/5 道理相同。
- 倒数：分数除法的核心是倒数概念，与整数除法“除以一个数等于乘它的倒数”保持统一（整数可看作分母为1的分数）。
- 比和比例：分数乘除法是解决“按比例分配”、“比例应用题”的基础。比如“男女生人数比是 3:5”，女生人数 = 男生×5/3。
- 解方程：分数方程如 2/3 x = 18，解为 x = 18 ÷ 2/3，就是分数除法的应用。
八、习题自测（附答案）
自测题1
一桶油，第一次用去全桶的 2/5，第二次用去剩下的 1/2，还剩 1.2 千克。这桶油原来重多少千克？
自测题2
能简便计算的要简便计算：$\frac{5}{6} \times \frac{3}{4} + \frac{5}{6} \times \frac{1}{4}$
自测题3
一台织布机 3/4 小时织布 9/10 米。照这样计算，织布 1 小时可以织多少米？
提示：工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间
答案与解析
自测题1： 解：第一次用后剩下 1 - 2/5 = 3/5；第二次用去剩下的一半，剩下剩下的 1/2，即全桶的 3/5 × 1/2 = 3/10，对应 1.2 千克。所以原来重 1.2 ÷ 3/10 = 1.2 × 10/3 = 4（千克）。
也可分步：第二次后剩下的是剩下的 1/2 → 剩下的 = 1.2 ÷ 1/2 = 2.4 千克；原来的 3/5 = 2.4 千克 → 原来 = 2.4 ÷ 3/5 = 4 千克。
自测题2： $\frac{5}{6} \times \frac{3}{4} + \frac{5}{6} \times \frac{1}{4} = \frac{5}{6} \times (\frac{3}{4}+\frac{1}{4}) = \frac{5}{6} \times 1 = \frac{5}{6}$（乘法分配律逆运算）。
自测题3： 工作效率 = 工作量 ÷ 时间 = $\frac{9}{10} \div \frac{3}{4} = \frac{9}{10} \times \frac{4}{3} = \frac{36}{30} = \frac{6}{5}$（米/小时），即 1 小时织 1.2 米。
提示：遇到分数应用题时，先圈出所有分数，找出每个分数的单位“1”，再画出线段图，最后用乘除关系列式。多加练习，你会发现分数乘除法并不神秘，反而很有趣！