最短路径问题（将军饮马）
用生活实例引入“最短路径”模型，通过对称变换将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短”找到点P的位置，使PA+PB最小。
一、从生活走进数学
周末你从家（点A）出发，先去河边（直线l）提一桶水，然后送去奶奶家（点B）。河岸是一条笔直的线，你可以选择河岸上的任意位置取水。怎么走才能使总路程最短？
这就是“最短路径问题”的经典模型，也叫“将军饮马”问题：在一条直线同一侧有两个点，要在直线上找一个点，使该点到两点的距离之和最小。
在图1中，我们先把河岸 l 看作一面“镜子”，将点 A 沿垂直于 l 的方向反射到另一侧得到点 A'。然后连接 A'B，与 l 交于 P。根据轴对称的性质，AP = A'P，所以 PA+PB = A'P+PB = A'B。由“两点之间线段最短”，A'B 就是所有路径中最短的，因此 P 就是我们要找的取水点。
二、核心方法：对称转化
解题三步走：
- 作对称点：将其中一个定点（如A）关于直线 l 作对称点 A'；
- 连线找交点：连接 A' 与另一个定点 B，线段 A'B 与 l 的交点即为所求点 P；
- 证明最短：在 l 上任取另一点 Q，根据 AP= A'P、AQ = A'Q，利用三角形两边之和大于第三边即可证明。
三、典型例题
例1（基础）
如右图，直线 l 是一条公路，点 A、B 是公路同侧的两个村庄。现要在公路 l 上修建一个车站 P，使得从 A、B 到车站的距离之和最小。已知 A、B 到 l 的垂足分别为 M、N，且 AM = 2 km，BN = 3 km，MN = 4 km。求 AP+BP 的最小值。
解答
作 A 关于 l 的对称点 A'，连接 A'B 交 l 于 P，则 AP+BP 的最小值即为 A'B 的长度。构造直角三角形：过 A' 作 A'C 平行于 l 交 BN 的延长线于 C，则 A'C = MN = 4 km，BC = BN + CN = BN + A'M = 3 + 2 = 5 km。由勾股定理，A'B = √(4²+5²) = √41 km。
例2（坐标系中应用）
在平面直角坐标系中，已知 A(1, 2)、B(4, 1)，x 轴为一条直线。请在 x 轴上找一点 P，使 PA+PB 最小，并求出点 P 的坐标。
解答
作 A 关于 x 轴的对称点 A'(1, -2)。连接 A'B 得直线 A'B 解析式。设 A'B 为 y = kx + b，将 A'(1,-2)、B(4,1) 代入得 k=1，b=-3，即 y = x - 3。令 y=0 得 x=3，所以 P(3, 0)。最小距离 PA+PB = A'B = √[(4-1)²+(1+2)²] = √(9+9)=3√2。
例3（网格图）
如图，正方形网格中，A、B 为格点，直线 l 为网格线。请在 l 上找一点 P，使 PA+PB 最小。
解答：作 A 关于 l 的对称点 A'，连接 A'B 与 l 交点即为 P。具体过程略（与例1类似）。
四、常见误区
- 误区1：直接连接 AB 与 l 相交——那只是 AB 与 l 的交点，并非 PA+PB 最小（除非 A、B 在 l 异侧）。
- 误区2：对称点作错方向——必须作关于直线 l 的对称点，且对称轴是 l 本身。
- 误区3：忘记用“两点之间线段最短”——构造出 A'B 后必须确认它是最短的。
五、学习建议
1. 多画图：拿到问题先画出直线和两个点，尝试作对称试试。
2. 理解原理：对称的本质是“把折线拉直”，把两条线段之和转化为一条线段。
3. 联想实际：当你需要在一条直线上选点使到两个固定点的距离和最小，都可以用这个方法。
六、知识链接
- 轴对称：对称点的作法、性质（垂直平分线）。
- 两点之间线段最短：几何公理。
- 勾股定理：求最短距离时常用到。
- 一次函数：在坐标系中求交点坐标需要用到。
七、习题自测
- 直线 l 同侧有两点 A、B，A、B 到 l 的距离分别为 3 cm 和 5 cm，且 A、B 在 l 上的垂足相距 6 cm。求 PA+PB 的最小值。
- 在直角坐标系中，A(2,5)，B(7,3)，求 x 轴上点 P 使 PA+PB 最小，并求 P 的坐标。
- 如图，在边长为 1 的菱形网格中，A、B 为两顶点，请找到一条最短路径从 A 到 l 再到 B。
答案
- 作对称后勾股得 √(6²+(5+3)²)=10 cm。
- A'(2,-5)，直线 A'B 与 x 轴交点 P 坐标 (29/8, 0) 约 (3.625, 0)。
- 略（原理相同）。