最短路径问题
利用轴对称和平移，将“折线”转化为“线段”，解决生活中的最短路径问题。学会在直线同侧找点使距离和最小，以及在两条平行线之间建桥使总路程最短。
一、生活中的问题引入
小东家住在A小区，奶奶家住在B小区。两个小区之间有一条笔直的公路l（如图1）。小东想去公路边等公交车去奶奶家，但公路很长，他应该选择哪个位置上车，才能使从家到车站再走到奶奶家的总路程最短呢？
直觉告诉我们，如果从A直接到B，线段AB最短。但这里必须经过l上的某一点。怎样走才能使两段路程之和最小呢？这就要用到数学中的对称方法。
二、核心方法：发现最短路径
1. 两点在直线同侧——将军饮马模型
将直线l看作一条“镜子”，作点A关于l的对称点A′。连接A′B，与l交于点P。那么点P就是我们要找的最佳上车点，此时AP+PB = A′B（最短）。
为什么这样最短？ 因为AP＝A′P（对称性），所以AP+PB = A′P+PB = A′B（两点之间线段最短）。对于l上其他任意点Q，都有AQ+QB = A′Q+QB ＞ A′B，所以P点就是我们要寻找的。
2. 两条平行线之间——造桥选址模型
假如有一条河，两岸是相互平行的直线l₁和l₂，小东要从A处过河到B处，河上需要建一座垂直于河岸的桥。应该把桥建在哪里，才能使A到桥再到B的总路程最短？
桥是垂直于河岸的，所以桥的长度固定（等于河宽）。我们要找的两条垂直于河岸的线段（AM和BN）加上桥长MN最短。因为桥长不变，问题转化为怎样使AM＋NB最小。
解决方法：将A向下平移河宽得到A′，连接A′B与河岸l₂交于N，过N作桥MN垂直于河岸，此时总路程最短。
因为AA′ 垂直于河岸且长度等于河宽，A′A + A′B 即为最短路径。而A′M＝AN？这里需再详细：平移后A到A′，相当于把AM平移为A′N，所以实际路径AM+MN+NB = A′N+MN+NB = MN + (A′N+NB) = MN + A′B。桥长固定，故A′B最短时总路程最短。
三、典型例题
例1： 如图，直线l表示一条铁路，A、B是两个镇，铁路同侧。要在铁路上建一个火车站P，使A、B两镇到P的距离之和最小。如果A(0,3)、B(4,1)，求P点坐标。
思路： 作点A关于直线l（x轴）的对称点A′(0,-3)，连接A′B交x轴于P。设P(x,0)，利用A′、B、P共线用比例或方程求解。
解答： 直线A′B过(0,-3)和(4,1)，斜率k = (1+3)/(4-0)=1，直线方程y = x - 3。令y=0得x=3，所以P(3,0)。此时AP+PB最小。
易错点： 混淆对称点的纵坐标符号，或以为直接连接AB与l交点就是最短。
例2： 有两条平行的河岸，河宽30m。A点在河岸l₁上方20m处，B点在河岸l₂下方40m处。要建一座垂直于河岸的桥，桥长30m，求最短路径总长度。
思路： 将A向下平移30m（河宽）得到A′，连接A′B与l₂交于N。总路径 = 桥长 + A′B。
解答： 设坐标系使l₁为x轴，l₂为y=-30。A(0,20)，B(60,-70)。A′为(0,-10)（向下平移30）。连接A′B，距离A′B = √[(60-0)² + (-70+10)²] = √[3600+3600] = √7200 = 60√2 ≈ 84.85m。总路程 = 30 + 60√2 ≈ 114.85m。
易错点： 忘记加上固定桥长，或者平移方向反了。
例3： 如图，∠AOB=30°，点P在∠AOB内，OP=10，点Q、R分别在OA、OB上，求△PQR周长的最小值。
思路： 分别作P关于OA、OB的对称点P₁、P₂，连接P₁P₂，交OA于Q、交OB于R。此时PQ+QR+PR = P₁Q+QR+RP₂ = P₁P₂（两点间线段最短）。
解答： 作P关于OA的对称点P₁，关于OB的对称点P₂。连接OP₁=OP₂=10，∠P₁OP₂ = 2∠AOB = 60°，所以△OP₁P₂是等边三角形，P₁P₂=10。所以△PQR周长最小值为10。
易错点： 误以为作一次对称即可，不理解两次对称将两条折线拉直。
四、常见误区
- 误区一： 认为将两点直接相连与直线交点就是最短点。其实直接连AB与l的交点只适用于两点在l异侧时才是最短（此时不用对称）。同侧时必须用对称法。
- 误区二： 造桥问题中忘记桥长固定，只考虑了AM+NB最小而忽略桥本身的长度；或错误地认为桥的位置任意。
- 误区三： 对称找点时把对称点作错（比如作成了关于y轴对称）；或者认为对称后连接A′B与l的交点就是我们要找的点，但忘记了实际行走路径是连OA和AP（需要区分）。
- 误区四： 在三角形周长最小问题中，没有正确作出两次对称，或者计算边长时忽视角度导致等边三角形判断错误。
五、学习建议
- 动手画图： 每道题都要先画出示意图，标注清楚所有已知点和线。
- 分类归纳： 将最短路径问题归纳为三类：两点一线（同侧）、两点两线（平行）、一点两线（角内部）。每种模型对应一种转化手段：轴对称或平移。
- 规范表达： 解题时写出“作A关于l的对称点A′”“连接A′B”等关键步骤，避免跳跃。
- 计算小心： 求坐标或长度时，多使用勾股定理和两点间距离公式。
六、知识链接
最短路径问题建立在“两点之间线段最短”、“垂线段最短”以及“轴对称的性质”基础上。后续会延伸到立体图形中的最短路径（如长方体表面爬行）、加权最短路径（如费马点）等。
与一次函数的结合：常考利用坐标系求最短路径点的坐标，需要会求直线方程和交点。
七、习题自测
- 在直线l上找一点P，使PA+PB最小。已知A(2,5)，B(8,-1)，求P点坐标。
- 河宽50m，A在河上游北岸，距北岸20m；B在河下游南岸，距南岸30m。A、B的水平距离为120m。求建桥位置及最短总路程。
- 如图，∠MON=45°，点P在∠MON内部，OP=8。求从点P出发，在OM、ON上各经历一次后回到P的最短路径长度（即△PQR周长最小值）。
参考答案
- 作A关于l（x轴）的对称点A′(2,-5)，连接A′B，直线A′B过(2,-5)和(8,-1)，斜率2/3，方程y = (2/3)x - 19/3。令y=0得x=9.5，P(9.5,0)。
- 将A向下平移50m得A′，连A′B，水平距离120m，垂直距离20+50+30=100m，A′B = √(120²+100²) = 156.2m，总路程=50+156.2=206.2m。建桥位置：过A′B与l₂的交点N作桥。
- 作P关于OM的对称点P₁，关于ON的对称点P₂，连P₁P₂，∠P₁OP₂=90°，OP₁=OP₂=8，P₁P₂=8√2≈11.31，即周长最小值。