最短路径问题（专题复习）
综合运用轴对称、平移、两点之间线段最短等知识，解决“将军饮马”、“造桥选址”等最短路径模型。从生活实例出发，通过图形分析与代数计算，掌握在直线、平行线、相交线上找点使折线总和最小的方法，并能够灵活迁移至三角形、四边形等复杂图形中。
一、概念导入——从生活到数学
你也许有过这样的经历：要从家门口的A 点出发，先到路边取快递，再到学校B 点，怎样走路程最短？这就是数学里的“最短路径问题”。
最短路径的核心思想是 “两点之间，线段最短”，但当路径必须经过某条线（直线、折线）时，我们需要通过 对称 或 平移 把折线“拉直”。
本专题我们将串联 轴对称、平移、三角形三边关系 等知识，系统解决两类经典模型及其变式。
二、核心模型与推导
模型1：将军饮马（点与直线）
问题：直线 l 同侧有两点 A、B，在 l 上找一点 P，使 PA+PB 最小。
方法：作 A 关于 l 的对称点 A'，连接 A'B 与 l 的交点即为所求点 P。
推导：对于直线 l 上任意一点 Q，必有 QA+QB ≥ A'B（三角形两边之和≥第三边），当 Q 在 A'B 上时取等。
模型2：造桥选址（平行线）
问题：两条平行直线 l₁、l₂ 之间有一条垂直于它们的河流（宽度为 d）。A 在 l₁ 上方，B 在 l₂ 下方，要建一座垂直于河岸的桥 MN，求 AM+MN+NB 的最小值。
方法：将 A 向下平移 d 到 A'（实际是沿垂直方向平移桥宽），连接 A'B 与 l₂ 交于点 N，过 N 作 l₁ 的垂线得到 M。此时路径最短。
三、典型例题
例1（基础）
如图，直线 l 的同侧有 A、B 两点，A 到 l 的距离为 2，B 到 l 的距离为 4，AB = 10。在 l 上找一点 P，使 PA+PB 最小，并求出最小距离。
思路：作对称，将折线转化为线段 A'B，利用勾股定理求长度。
步骤：1. 作 A 关于 l 的对称点 A'，则 PA = PA'；2. 连接 A'B，与 l 交点即为 P；3. 最小距离等于 A'B 的长度。
构造直角三角形：过 A' 作直线平行于 l 交 B 到 l 的垂线于 C，则 A'C = AB = 10，BC = 距离差 = 2，所以 A'B = √(10² + 2²) = √104 = 2√26。
答案：最小距离为 2√26。
例2（中档）
两条平行线 l₁、l₂，相距 4 单位。A 在 l₁ 上方 1 单位，B 在 l₂ 下方 2 单位，A 到 l₁ 的垂足与 B 到 l₂ 的垂足的水平距离为 8。在 l₁、l₂ 之间建一座垂直于两线的桥 MN，求 AM+MN+NB 的最小值。
思路：将 A 垂直向下平移 4 单位到 A'，则 A' 在 l₂ 上（因为 A 距 l₁ 上方 1，平移后距 l₂ 下方 1？需仔细：A 到 l₁ 距离为1，l₁ 到 l₂ 距离为4，所以 A 到 l₂ 距离为 1+4=5。平移后 A' 应在 l₂ 下方 1 单位处？等等，模型要求将 A 平移桥宽（4）到与 B 同侧。实际做法：过 A 作垂线与 l₁ 交于 M'，向下平移 4 到 A'，则 A' 在 l₂ 下方？不能简单套用。我们来正确推导。
设 l₁ 为 y=0，l₂ 为 y=-4。A(0,1)，B(8,-6)（因为 B 在 l₂ 下方 2，即 y=-6）。桥宽 4，即从 l₁ 到 l₂。作平移：将 A 向下平移 4 到 A'(0,-3)（因为 A 在 y=1，减去 4 得 y=-3）。连接 A'B：A'(0,-3) 到 B(8,-6)。线段 A'B 与 l₂（y=-4）的交点 N：设直线方程，解得 N 坐标 (8/3, -4)。过 N 作垂线交 l₁ 得 M (8/3, 0)。则 AM+MN+NB = A'B = √((8-0)² + (-6+3)²) = √(64+9) = √73。
答案：最小值为 √73。
例3（困难）
△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，M 是 BC 边上的动点，分别在 AB、AC 上找点 E、F，使得 ME+EF+FM 最小。若 BC = 6，求该最小值。
思路：利用两次轴对称将折线“拉直”。作 M 关于 AB 的对称点 M₁，关于 AC 的对称点 M₂，则 ME = M₁E，MF = M₂F，因此 ME+EF+FM = M₁E + EF + FM₂ ≥ M₁M₂（两点间线段最短）。当 E、F 在 M₁M₂ 上时取等。所以最小值为 M₁M₂ 的长度。
由于 ∠BAC=120°，AB=AC，则∠B = ∠C = 30°。对称后 ∠M₁AM₂ = ∠BAM + ∠CAM = 60° × 2？注意：M关于AB对称，则∠MAB = ∠M₁AB；关于AC对称，则∠MAC = ∠M₂AC。所以 ∠M₁AM₂ = 2∠BAC = 240°？不对，因为对称轴为AB和AC，∠M₁AM₂ = 2∠BAC = 240°。但 M₁A = MA = M₂A，所以三角形 M₁AM₂ 是顶角 240° 的等腰三角形，底边 M₁M₂ = 2·MA·sin(∠M₁AM₂/2) = 2·MA·sin120° = √3·MA。因此 M₁M₂ = √3·MA。当 MA 最小时，M₁M₂ 最小。MA 的最小值是 A 到 BC 的高。等腰三角形中，BC=6，底角 30°，高 = (BC/2) / tan30°？计算：BC=6，则高 = (BC/2)·tan60° = 3·√3 = 3√3。所以 MA 最小 = 3√3。因此 M₁M₂ 最小 = √3·3√3 = 9。
答案：最小值为 9。
易错点：容易忽略 M 是动点而固定求 M₁M₂，必须再求 MA 的最小值。
四、常见误区
- 对称点选择错误：将军饮马中，只能作其中一个点的对称点，不能两个都作。
- 忘记折线段包含不能压缩的部分：造桥问题中桥的长度是固定值（平行线间距），平移后去掉固定长，不能重复计算。
- 未考虑动点范围：如例3，M 在 BC 上运动，最小值要结合垂线段最短。
- 直接连接原两点：如果路径必须经过直线，直接连接可能不满足约束。
五、学习建议
- 多画图：每次动手画对称点、画连线，直观理解“化折为直”。
- 总结模型：将军饮马（点直线）、造桥选址（平行线）、两次反射（相交线）是三大基础模型。
- 结合勾股定理：求最小值常需构造直角三角形。
- 动点问题注意变量范围：最短距离往往在特殊位置（垂足、端点）取到。
六、知识链接
- 轴对称：图形变换，实现等距转换。
- 平移：将固定长度平移，简化模型。
- 两点之间线段最短：最根本的公理。
- 三角形三边关系：两边之和大于第三边，为“折线≥直线”提供证明。
- 一次函数与勾股定理：联立坐标求交点、算距离。
七、习题自测
- 直线 l 同侧有 A(0,2) 和 B(4,4)，点 P 在 x 轴上，求 PA+PB 的最小值。
- 两条平行线相距 5，A 在 l₁ 上方 2，B 在 l₂ 下方 3，水平距离 12，求从 A 到 B 经过垂直于两线的桥的最短路径长度。
- 锐角三角形 ABC，∠A=60°，BC 边上有动点 M，求 M 到三边的距离之和的最小值（提示：利用等边三角形内一点到三边距离之和为定值，或对称法）。
答案：1. 2√13（作A关于x轴对称点A'(0,-2)，连接A'B，A'B=√(4²+6²)=√52=2√13）。2. √(12²+ (2+3+5)²?) 需注意：桥长固定5，平移后A'在l₂上？计算后得√(12²+ (2+5+3)²?) 实际总路径长=平移后的A'B+桥长？不，最短路包括桥，桥长为定值，需从总路径中减去桥长？正确做法：总路径=AM+MN+NB = A'B + d（因为A'B=AM+NB，但桥MN=d固定，所以总长=A'B+d）。A'(0, -3)？B(12, -8)？求A'B后加5。A'B=√(12²+5²)=13，总=18。所以答案为18。3. 提示：等边三角形内一点到三边距离和为定值（等于高）。若不是等边，可考虑对称转化。