最短路径问题（专题复习）

1. 概念导入——从生活走向数学

同学们，假设你家附近有两个地点A（学校）和B（体育馆），中间隔着一条笔直的马路l（如下图）。你想从学校到马路上的某点P，再走到体育馆，那么P选在哪里才能使总路程最短？这其实就是最短路径问题中最经典的一种——将军饮马模型。

图中点A、B在直线l的同侧，要使路径A→P→B最短，我们可以利用轴对称，作A关于l的对称点A'，再连接A'B，与l的交点P就是所求。原因是：AP = A'P，所以AP+PB = A'P+PB = A'B（线段最短）。这就是“化折为直”的思想。

2. 核心模型与推导

2.1 模型一：两点在直线同侧（将军饮马）

如上面图1所示，已知直线l和l同侧两点A、B，在l上找一点P，使PA+PB最小。做法：作点A关于l的对称点A'，连接A'B，与l的交点即为所求P。这是最基础的模型，常用于解决“桥梁选址”类问题。

2.2 模型二：两点在直线异侧

如果A、B位于直线异侧，那么直接连接AB与l的交点即为所求。因为两点之间线段最短。

2.3 模型三：造桥选址（平移法）

还有一类问题：两条平行直线之间修一座桥，使从A到B经过桥的路径最短。例如下图，河的两岸为平行线l₁和l₂，要在河上垂直建桥（即桥垂直于河岸），求A到桥头再到B的最小路径。

做法：将点B沿垂直于河岸的方向向上平移河宽d（即两平行线间距离）得到B'，连接AB'，与上河岸l₁的交点M即为桥的一个端点，过M作河岸的垂线交l₂于N，则MN为桥，A→M→N→B即为最短路径。原理是：利用平移将“折线”中垂直于河岸的桥段转化为平移量，然后利用两点间线段最短。

3. 典型例题

4. 常见误区

• 对称转化对象混淆：将军饮马问题中，不能盲目对称，需分清哪个点对称（通常对称其中一个点，也可对称两个点但最后连接）。
• 忽略三角形三边关系验证：对于周长最小问题，有时需考虑三点共线，但实际是“折线化为直线”，并非普通三角形边长。
• 坐标计算错误：用距离公式时，容易将纵坐标相减符号弄反，建议先写坐标差再平方。

5. 学习建议

• 熟记两个核心思想：轴对称转化和平移转化（“化折为直”）。
• 对于“固定长度桥”的问题，采用平移法，将桥的固定长度“消掉”。
• 多画图，标注关键点，直观理解模型。
• 结合勾股定理、两点间距离公式进行定量计算。

6. 知识链接

• 轴对称：作对称点将同侧转化为异侧。
• 平移：将定长线段平移，简化路径。
• 两点间线段最短：基础公理。
• 垂线段最短：点与直线之间最短距离。
• 勾股定理：求对称点之间的距离。

7. 习题自测

1. 如图，直线l同侧有A、B两点，A到l的距离AC=3，B到l的距离BD=5，且CD=6。求AP+PB的最小值（P在l上）。
2. 已知∠MON=30°，点P在∠MON内部，OP=6，求△PMN周长的最小值（M在OM上，N在ON上）。
3. 在直角坐标系中，A(1,3)，B(5,1)。点P在x轴上，点Q在y轴上，求四边形OAPQ（O为原点）周长的最小值（即OA+AP+PQ+QO最小）。

答案：

1. 作A关于l的对称点A'，则A'C=AC=3，A'D=CD²+(AC+BD)²? 实际连接A'B，过A'作BD的垂线，利用勾股定理：A'B = √(6²+(3+5)²)=10。
2. 作P关于OM、ON对称点P₁、P₂，连接P₁P₂，P₁P₂长度即为周长最小值。由对称性，OP₁=OP₂=OP=6，∠P₁OP₂=60°，所以P₁P₂=6（等边三角形）。
3. 分别作A关于x轴对称点A'(1,-3)，作B关于y轴对称点B'(-5,1)。连接A'B'与x轴交于P，与y轴交于Q。A'B'=√((1+5)²+(-3-1)²)=√(36+16)=√52=2√13。OA=√10，所以周长最小值为OA+A'B'=√10+2√13。