数学 8年级简单

整式的乘法与因式分解

从面积模型直观理解单项式、多项式乘法，掌握提公因式法和公式法进行因式分解，为后续分式、方程学习打基础。

📅 2026-07-26 👁️ 1 次阅读

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一、概念导入：面积里的“乘法密码”

同学们，想象你有一块长方形花园，长是 a 米，宽是 b 米，面积就是 ab。如果把长增加 c 米，变成 a + c，宽增加 d 米，变成 b + d，那么新面积 (a + c)(b + d) 等于多少呢？我们可以把这块地分割成四个小矩形：

图1：矩形面积模型展示 (a+c)(b+d) = ab + ad + cb + cd

可以看出：(a + c)(b + d) = ab + ad + cb + cd。这就是多项式乘法的核心——每一项分别相乘，再相加。

因式分解就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。就像把 $x^2+5x+6$ 变回 $(x+2)(x+3)$。

两种基本方法：

提公因式法：找到各项都含有的公共因式提出来。如 $6a^2b + 3ab^2 = 3ab(2a + b)$。
公式法：利用乘法公式倒过来使用。
- 平方差公式：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
- 完全平方公式：$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$，$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$

图2：正方形面积差 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

从图中直观看到：$a^2 - b^2$ 等于去掉小正方形后L形区域的面积，而这个L形可以拼接成一个长为 $a+b$、宽为 $a-b$ 的长方形，所以 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$。

图3：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

边长为 $a+b$ 的大正方形面积等于四个小矩形面积之和：$a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$。

例1（基础）计算：$(2a^2b) \cdot (-3ab^3)$

思路：系数相乘：$2 \times (-3) = -6$；同底数幂相乘：$a^2 \cdot a = a^{3}$，$b \cdot b^3 = b^{4}$。

解：$(2a^2b) \cdot (-3ab^3) = -6a^{3}b^{4}$。

易错点：注意字母的指数相加，不要漏乘系数。

例2（中等）计算：$(x - 2y)(x + 3y)$

思路：用多项式乘多项式法则：$x \cdot x + x \cdot 3y + (-2y)\cdot x + (-2y)\cdot 3y$。

解：$(x - 2y)(x + 3y) = x^2 + 3xy - 2xy - 6y^2 = x^2 + xy - 6y^2$。

易错点：注意符号，$-2y \cdot 3y = -6y^2$，合并同类项时要小心。

例3（提高）分解因式：$4a^2 - 9b^2$

思路：观察两项均为平方项，符合平方差公式 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$，其中 $A=2a$，$B=3b$。

解：$4a^2 - 9b^2 = (2a)^2 - (3b)^2 = (2a + 3b)(2a - 3b)$。

易错点：必须写成 $(2a+3b)(2a-3b)$，不要漏写括号。

尝试完成下面题目，检验学习效果。

参考答案：